БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 3

(א) По условию в ящике א \(a\) фруктов, из которых 3 яблока. Следовательно, в нем \(a-3\) груши.

В ящике ב \(b\) фруктов, из которых 5 яблок. Следовательно, в нем \(b-5\) груш.

Нам нужно найти вероятность того, что сначала яблоко было извлечено из ящика א, и затем из ящика ב.

Вероятность извлечь яблоко из ящика א равна отношению числа яблок в ящике א к числу всех фруктов, то есть \(\frac{3}{a}\) (пусть это событие А). После того, как яблоко извлекли из ящика א, его положили в ящик ב, и в нем стало \(5+1=6\) яблок и \(b+1\) всего фруктов. Следовательно, вероятность извлечь теперь яблоко из ящика ב равна \(\frac{6}{b+1}\).

Вероятность извлечь яблоко из ящика א, а затем извлечь яблоко из ящика ב равна произведению вероятностей, то есть \(\frac{3}{a}\cdot \frac{6}{b+1}=\frac{18}{a(b+1)}\).

Ответ: \(\frac{18}{a(b+1)}\)

(ב) По условию вероятность извлечь два яблока указанным выше способом равна \(\frac{18}{a(b+1)}=\frac{9}{65}\).

Найдем вероятность извлечь сначала яблоко, а потом грушу указанным выше способом. Вероятность извлечь яблоко из ящика א равна \(\frac{3}{a}\).

В ящике ב после того, как извлекли яблоко из ящика א и положили в ящик ב количество груш не изменилось, то есть осталось равным \(b-5\), а количество фруктов увеличилось на 1 и стало \(b+1\). Следовательно, вероятность теперь извлечь из ящика ב грушу равна \(\frac{ b-5}{b+1}\). (Пусть это событие В)

Тогда вероятность извлечь сначала яблоко, а потом грушу указанным выше способом равна \(\frac{3}{a}\cdot \frac{b-5}{b+1}=\frac{3(b-5)}{a(b+1)}\) (Это пересечение событий А и В)

По условию \(\frac{3(b-5)}{a(b+1)}= \frac{21}{130}\).

Получили систему уравнений:

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {\frac{18}{a(b+1)}=\frac{9}{65}}\\{\frac{3(b-5)}{a(b+1)}=\frac{21}{130}}\end {matrix}\)

Разделим второе уравнение на первое. Получим:

\(\frac{3(b-5)}{a(b+1)}\cdot\frac{a(b+1)}{18}=\frac{21}{130}\cdot \frac{65}{9}\)

Сократим дроби, получим \(3(b-5)=21\), отсюда \(b=12\).

Подставим \(b=12\) в первое уравнение, получим \(\frac{18}{a(12+1)}=\frac{9}{65}\).

По свойству пропорции и после сокращения, получим \(a=10\)

Ответ: \(b=12\), \(a=10\).

(ג) Чтобы найти вероятность того, что из ящика ב была извлечена груша при условии , что из ящика א было извлечено яблоко, воспользуемся формулой условной вероятности.

Вероятность события B при условии наступления события A равна:

\(P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

Здесь событие А — «из ящика א было извлечено яблоко», событие В — «из ящика ב была извлечена груша».

\(P( A\cap B)=\frac{21}{130}\) — см. п. (ב)

\(P(A)=\frac{3}{a}=\frac{3}{a}=\frac{3}{10}\) см. п. (א), (ב)

Тогда \(P(B|A)=\frac{\frac{21}{130}}{\frac{3}{10}}=\frac{21}{130}\cdot \frac{10}{3}=\frac{7}{13}\)

Ответ: \(\frac{7}{13}\)

(ד) После того, как все фрукты из двух данных ящиков поместят в другой ящик, в нем станет \(a+b\) фруктов, \(3+5=8\) яблок и \(a+b-8\) груш. Мы нашли, что \(b=12\), \(a=10\), значит, в новом ящике \(22\) фрукта, \(8\) яблок и \(14\) груш.

Найдем вероятность того, что ровно 4 раза из 6 было извлечено яблоко. Пусть это событие А. Вероятность извлечь яблоко равна \(\frac{8}{22}\), вероятность извлечь грушу равна \(\frac{14}{22}\).

Предположим, что яблоки были извлечены первые четыре раза, а последние два раза были извлечены груши. Тогда вероятность этого события равна \((\frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2 \) (*).

Но яблоки и груши можно извлекать в любом порядке, и число способов извлечь в определенном порядке яблоки и груши равно число способов выбрать из шести предметов четыре, то есть \(C_6^4\) — числу сочетаний из 6 по 4.

\(C_6^4=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2!}=15\)

Таким образом, \(P(A)=15\cdot(\frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2\)

Найдем вероятность того, что груши были извлечены 6 раз из шести. Пусть это событие В.

\(P(B)=(\frac{14}{22})^6\).

Нас интересует вероятность того, что ровно 4 раза из 6 было извлечено яблоко ИЛИ все шесть раз была извлечена груша. Так как эти события несовместные, значит, вероятность из объединения этих событий равна сумме вероятностей:

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=15\cdot(\frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2+(\frac{14}{22})^6\approx 0.173\)

Ответ: \(\approx 0.173\)

(ה) Найдем вероятность того, что 4 яблока были извлечены подряд при условии, что ровно 4 раза из 6 было извлечено яблоко. Воспользуемся формулой для нахождения условной вероятности.

\(P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

Пусть событие А «ровно 4 раза из 6 было извлечено яблоко». \(P(A)=15\cdot(\frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2\)

Пусть событие \(B\cap A\) «ровно 4 раза подряд из 6 было извлечено яблоко».

Извлечь подряд 4 яблока из 6 фруктов можно тремя способами:

Тогда \(P(B\cap A)=3\cdot( \frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2\) см. формулу (*)

\(\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{3\cdot \frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2}{15\cdot \frac{8}{22})^4\cdot(\frac{14}{22})^2}=\frac{1}{5}\).

Ответ: \(\frac{1}{5}\)