БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 7

(א) (1) Найдем область определения функции \(f(x)=\frac{2\sin x}{\cos ^2 x-1}\), заданной в области \(-2\pi\le x \le 2\pi\).

\(f(x)=\frac{2\sin x}{\cos ^2 x-1}=\frac{2\sin x}{-\sin^2 x}=-\frac{2}{\sin x}\)

Функции \(\sin x\) и \(\cos x\) определены при всех действительных значениях \(x\). Дробь определена при всех значениях \(x\), при которых знаменатель не равен нулю.

\(\sin x\ne 0\)

На промежутке \(-2\pi\le x \le 2\pi\) получим \(x\ne -2\pi,\ \ x\ne-\pi, \ \ x\ne0, \ \ x\ne \pi,\ \ x\ne2\pi\).

Ответ: \(x\ne -2\pi,\ \ x\ne-\pi, \ \ x\ne0, \ \ x\ne \pi,\ \ x\ne2\pi\).

(2) Уравнение асимптоты, перпендикулярной оси Х имеет вид \(x=x_0\), где \(x_0\) — значение \(x\), при котором знаменатель в уравнении функции равен нулю. В нашем случае, учитывая п. 1, получаем:

Ответ: \(x= -2\pi,\ \ x=-\pi, \ \ x=0, \ \ x= \pi,\ \ x=2\pi\).

(3) Функция называется четной, если для любого значения \(x\) из области определения функции выполняется равенство:

\(f(-x)=f(x)\)

Функция называется нечетной, если для любого значения \(x\) из области определения функции выполняется равенство:

\(f(-x)=-f(x)\)

Проверим. \(\sin(- x)=-\sin( x)\)

\(f(-x)=-\frac{2}{\sin(-x)}=\frac{2\sin( x)}{\sin x}=-f(x)\)

Следовательно, функция \(f(x)\) — нечетная.

Ответ: нечетная

(ב) (1) Рассмотрим функцию \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) на промежутке \(0\le x \le 2\pi\). Найдем координаты точек пересечения с осями координат.

Все точки, лежащие на оси Х имеют y- координату, равную нулю. Найдем x- координаты этих точек. Для этого решим уравнение \(-\frac{2}{\sin x}=0\) на промежутке \(0\le x \le 2\pi\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

Числитель дроби нулю не равен, следовательно, функция не имеет точек пересечения с осью Х.

Все точки, лежащие на оси Y имеют x- координату, равную нулю. Если \(x=0\), \(\sin x=0\). Это невозможно, поэтому точек пересечения с осью Y нет.

Ответ: точек пересечения с осью X и с осью Y нет.

(2) Найдем точки экстремума функции \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) на промежутке \(0\le x \le 2\pi\).

Найдем производную функции.

Производная дроби находится по формуле:

\((\frac{U}{V})’=\frac{U’V-V’U}{V^2}\)

\(U=2,\ U’=0\), \(V= \sin x,\ V’=\cos x\)

Тогда \(f'(x)=-\frac{0\cdot(\sin x)-(2)\cos x )}{(\sin x)^2}=\frac{2\cos x}{(\sin x)^2}\)

Найдем нули производной. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {2\cos x=0}\\{(\sin x)^2\ne 0}\end {matrix}\)

На промежутке \(0\le x \le 2\pi\) получим \(x=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{3\pi}{2}\) — это точки, в которых производная равна нулю.

Исследуем знаки производной \(f'(x)=\frac{2\cos x}{(\sin x)^2}\) и найдем значения функции \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) в точках экстремума.

\(f'(\frac{\pi}{4})=\frac{2\cos (\frac{\pi}{4})}{(\sin (\frac{\pi}{4}))^2}>0\)

\(f'(\frac{3\pi}{4})=\frac{2\cos (\frac{3\pi}{4})}{(\sin (\frac{3\pi}{4}))^2}<0\)

\(f'(\frac{5\pi}{4})=\frac{2\cos (\frac{5\pi}{4})}{(\sin (\frac{5\pi}{4}))^2}<0\)

\(f'(\frac{7\pi}{4})=\frac{2\cos (\frac{7\pi}{4})}{(\sin (\frac{7\pi}{4}))^2}>0\)

\(f(\frac{\pi}{2})=-\frac{2}{\sin (\frac{\pi}{2})}=-\frac{2}{1}=-2\)

\(f(\frac{3\pi}{2})=-\frac{2}{\sin (\frac{3\pi}{2})}==-\frac{2}{-1}=2\)

Нарисуем таблицу:

Ответ: (1) точка максимума \((\frac{\pi}{2},-2)\), точка минимума \((\frac{3\pi}{2},2)\)

(ג) Функция \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) — нечетная, следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Точки, в которых знаменатель дроби в уравнении функции равен нулю, являются вертикальными асимптотами. То есть прямые \(x=0,\ x=\pi,\ x=2\pi\) и, симметричные им \(\ x=-\pi,\ x=-2\pi\) являются вертикальными асимптотами.

Учитывая данные таблицы, изобразим график функции \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) на промежутке \(0\le x \le 2\pi\) и отобразив его симметрично относительно начала координат, получим график функции \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) на промежутке \(-2\pi\le x \le 2\pi\):

(ד) Функция имеет перегиб в тех точках, в которых вторая производная равна нулю и меняет знак. Найдем вторую производную функции \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\).

\({f’}'(x)=(f'(x))’=(\frac{2\cos x}{(\sin x)^2})’=\frac{(2\cos x)’\cdot (\sin x)^2-((\sin x)^2)’\cdot(2\cos x)}{(\sin x)^4}=\frac{-2\sin x\cdot (\sin x)^2-2\sin x\cdot\cos x\cdot2\cos x}{(\sin x)^4}=\)

\(=\frac{-2\sin ^3 x-4\sin x\cdot \cos ^2 x}{(\sin x)^4}=\frac{-2\sin x(\sin ^2 x+2\cos ^2 x)}{(\sin x)^4}=\frac{-2(\sin ^2 x+2\cos ^2 x)}{(\sin x)^3}\).

Приравняем числитель дроби к нулю:

\(-2(\sin ^2 x+2\cos ^2 x)=0\) Разделим обе части на -2.

\(\sin ^2 x+\cos ^2 x+\cos ^2 x=0\)

\(1+\cos ^2 x=0\) — это уравнение не имеет решений, так как \(1+\cos ^2 x>0\) при любом значении \(x\). Следовательно, вторая производная не равна нулю ни при каких значениях \(x\) и, следовательно, функция \(f(x)=-\frac{2}{\sin x}\) не имеет точек перегиба.

(ה) Найдем площадь фигуры, заключенной между графиком функции производной \(f'(x)\) и осью \(x\) в области \(1.7\le x\le 2\).

По формуле Ньютона-Лейбница площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f(x)\) и осью \(x\) в области \(a\le x\le b\), равна \(S=\int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\), то есть \(F'(x)=f(x)\)

В нашем случае \(S=\int_{1.7}^2 f'(x) dx=f(2)-f(1.7)=-\frac{2}{\sin 2}-(-\frac{2}{\sin 1.7})=\frac{2}{\sin 1.7}-\frac{2}{\sin 2}\approx 10.11\)

Ответ: \(\approx 10.11\)