БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 6


Дана функция \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2, \ n>1\), определенная для любого \(x\).
(א) Найдем точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осями координат.
В точках пересечения графика функции с осью Х у-координата равна нулю. Найдем соответствующие значения х.
\(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2=0\) Приравняем каждый множитель к нулю, получим \(x=0\) или \(x=-1\).
В точке пересечения функции с осью Y x-координата равна нулю. Найдем соответствующее значение у.
\(y=0^n\cdot (0+1)^2=0\)
Итак,
Ответ: точки пересечения с осью Х: \((0;0)\), \(-1;0)\)
точка пересечения с осью Y: \((0;0)\).
(ב) Найдем при каких значениях \(x\) функция \(f(x)>0\) и при каких значениях \(x\) функция \(f(x)<0\).
- \(n\) — четное число. В этом случае \(x^n\ge0, \ (x+1)^2 \ge0\), следовательно, \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2>0\) при всех значениях \(x\), кроме тех, в которых значение функции равно нулю. То есть \(f(x)>0\) при \(x<-1,\ -1<x<0,\ x>0\). Значений х, при которых \(f(x)<0\) нет.
- \(n\) — нечетное число. \((x+1)^2 \ge0\) при любом значении \(x\). Но если \(n\) — нечетное число, \(x^n\) меняет знак в точке \(x=0\). При \(x<0\) значение \(x^n<0\), следовательно, \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2\le0\). При \(x>0\) значение \(x^n>0\), следовательно, \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2>0\). Таким образом, при \(x>0\) значение функции \(f(x)>0\), и \(f(x)<0\) при \(x<-1,\ -1<x<0\)
Заметим, что поскольку нас спрашивают, при каком значении \(x\) значение функции строго положительно или строго отрицательно, точки, в которых \(f(x)=0\) в ответ не входят.
Ответ: если \(n\) — четное число, \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2>0\) при \(x<-1,\ -1<x<0,\ x>0\). Значений х, при которых \(f(x)<0\) нет.
если \(n\) — нечетное число, \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2<0\) при \(x<-1,\ -1<x<0\). \(f(x)>0\) при \(x>0\).
(ג) Чтобы найти координаты точек экстремума, найдем найдем производную функции \(f(x)\). В точке минимума производная меняет знак с «-» на «+», в точке максимума производная меняет знак с «+» на «-«. Функция \(f(x)=x^n\cdot (x+1)^2\) представляет собой произведение двух функций: \(x^n\) и \((x+1)^2\). Производную произведения двух функций находим по формуле:
\((UV)’=U’V+V’U\)
\(f'(x)=(x^n)’\cdot (x+1)^2+x^n\cdot ((x+1)^2)’=nx^{n-1}\cdot (x+1)^2+x^n\cdot2(x+1)=\)
\(=x^{n-1}\cdot (x+1)(n(x+1)+2x)=x^{n-1}\cdot (x+1)(x(n+2)+n)\)
Получили: \(f'(x)=x^{n-1}\cdot (x+1)(x(n+2)+n)\)
Чтобы найти нули производной приравняем каждый множитель к нулю. Получим значения \(x\), в которых производная равна нулю: \(x=0,\ x=-1,\ x=-\frac{n}{n+2}\).
\(|\frac{n}{n+2}|<1\), следовательно, \(-1<-\frac{n}{n+2}<0\)

Исследуем знаки производной.
Если \(n\) — четное число, то \(n-1\) — нечетное число, следовательно, производная меняет знак во всех точках, в которых она равна нулю. При \(x>0\) \(f'(x)=x^{n-1}\cdot (x+1)(x(n+2)+n)>0\). Получаем:

Если \(n\) — нечетное число, то \(n-1\) — четное число, следовательно, производная не меняет знак в точке \(x=0\). В остальных точках, в которых производная равна нулю, она меняет знак. При \(x>0\) \(f'(x)=x^{n-1}\cdot (x+1)(x(n+2)+n)>0\). Получаем:

Ответ: если \(n\) — четное число, то точки минимума \(x=-1,\ x=0\), точка максимума \(x=-\frac{n}{n+2}\)
если \(n\) — нечетное число, то точка минимума \(x=-\frac{n}{n+2}\), точка максимума \(x=-1\).
(ד) Для четного значения \(n\) соответствие очевидно:

\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)

Для нечетного значения \(n\) выберем между I и II. Графики отличаются формой прохождения через точку \(x=0\):

Здесь функция «тормозит» в точке \(x=0\), то есть не возрастает и не убывает.

Здесь функция монотонно возрастает в точке \(x=0\), значит, производная функции в этой точке больше нуля.
Так как \(f'(x)=0\) при \(x=0\), график II изображает функцию \(f(x)\) при нечетном значении \(n\):


Ответ: для четного значения \(n\) — график III, для нечетного значения \(n\) — график II.
(ה) График функции \(g(x)=a\cdot f(x-2)\) получается из графика функции \(f(x)\) сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Х и растяжением в два раза вдоль оси Y. Сдвиг графика функции вдоль оси Х не влияет на площадь фигуры, заключенной между графиком функции и осью Х.
По формуле Ньтона
Далее. Если \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\), то функция \(a\cdot F(x)\) будет первообразной функции \(a\cdot f(x)\). Отсюда, если \(T\) — на площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(g(x)=a\cdot f(x-2)\) и осью Х, то \(\frac{T}{a}\) — площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f(x)\) и осью Х.
Ответ: \(\frac{T}{a}\).