БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35581, ЗАДАНИЕ 1

(א) (1) Введем переменные:

Пусть ко времени 15.30 велосипедист א был в пути \(t\) часов, тогда велосипедист ב был в пути \(t-2.5\) часа, так как по условию он выехал на 2,5 часа позже. За это время каждый велосипедист проехал треть расстояния между А и В, то есть по \(d \) км.

Тогда скорость велосипедиста א равна \(\frac{d}{t}\) км/ч, а скорость велосипедиста ב равна \(\frac{d}{t-2.5}\) км/ч.

На следующий день велосипедисты снова ехали на встречу друг другу с той же скоростью, и встретились через 9 часов. Значит, они за 9 часов проехали суммарно весь путь, то есть \(3d \) км.

Получаем уравнение:

\(9\cdot \frac{d}{t}+9\cdot \frac{d}{t-2.5}=3d\)

Разделим обе части на \(3d \), перенесем все влево и приведем к общему знаменателю. Получим:

\( \frac{3}{t}+\frac{3}{t-2.5}=1\)

\(\frac{3(t-2.5)+3t-t(t-2.5)}{t(t-2.5)}=0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Приравняем к нулю числитель.

\(3(t-2.5)+3t-t(t-2.5)=0\)

\(-t^2+8.5t-7.5=0\). Умножим обе части уравнения на -2.

\(2t^2-17t+15=0\)

\(D=17^2-4\cdot 2\cdot 15=289-120=169=13^2\)

\(t_1=\frac{17+13}{4}=7.5\)

\(t_2=\frac{17-13}{4}=1\) — это значение не подходит по смыслу задачи, так как в этом случае время велосипедиста ב будет отрицательным.

Итак, велосипедист א был \(t=7.5\) часов (или 7 часов 30 мин) в пути, пока не наступило время 15.30. Следовательно, он выехал в 8 часов.

Ответ: в 8 часов.

(2) Зная t, можем выразить скорость каждого велосипедиста. Скорость велосипедиста א равна \(\frac{d}{t}=\frac{d}{7.5}=\frac{2d}{15}\) км/ч.

Cкорость велосипедиста ב равна \(\frac{d}{t-2.5}=\frac{d}{5}\) км/ч.

Ответ: א: \(\frac{2d}{15}\) км/ч, ב: \(\frac{d}{5}\) км/ч.

(ב) Найдем расстояние между А и В при условии, что 1 км велосипедист א проезжает на 1.25 минуты дольше, чем велосипедист ב.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Учитывая найденную в п. (א) скорость каждого велосипедиста получим:

велосипедист א проезжает 1 км за \(\frac{1}{\frac{2d}{15}}=\frac{15}{2d}\) часов,

велосипедист ב проезжает 1 км за \(\frac{1}{\frac{d}{5}}=\frac{5}{d}\) часов.

Так как скорость измеряется в км/ч, переведем 1.25 минут в часы: 1.25 минут=\(\frac{1.25}{60}=\frac{5}{240}=\frac{1}{48}\) часа.

Получаем уравнение:

\(\frac{15}{2d}-\frac{5}{d}=\frac{1}{48}\)

\(\frac{15-10}{2d}=\frac{1}{48}\), \(2d=240\), \(d=120\), \(S=3d=360\)

Ответ: 360.