БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 1ב
(1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Следовательно, \(\measuredangle AOE=90^{\circ}\). Отсюда \(\measuredangle OAB=90^{\circ}-\alpha\).
\(OA=OB\), так как это радиусы окружности, следовательно, треугольник \(AOB\) — равнобедренный, и \(\measuredangle OAB=\measuredangle OBA=90^{\circ}-\alpha\).
Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), \(\measuredangle AOB=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha\)
Ответ: \(2\alpha\)
(2) Длина окружности радиуса \(R\) равна \(2 \pi R\), что соответствует дуге \(360^{\circ}\). Пусть дуге \(2\alpha\) градусов соответсвует дуга, длина которой равна \(x\). Длина дуги пропорциональна величине центрального угла. Составим пропорцию:
\(2\pi R\) \(-\) \(360^{\circ}\)
\(x\ \ \) \(-\ \ \) \(2\alpha\)
По свойству пропорции: \(2\pi R \cdot 2\alpha=360^{\circ}\cdot x\), отсюда
\(x=\frac{2\pi R \cdot 2\alpha}{360^{\circ}}=\frac{\pi R \cdot \alpha}{90^{\circ}}\)
Тогда \(\frac{x}{2\pi R}=\frac{\frac{\pi R \cdot \alpha}{90^{\circ}}}{2\pi R}=\frac{\alpha}{180^{\circ}}\)
Ответ: \(\frac{\alpha}{180^{\circ}}\)