БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35582, ЗАДАНИЕ 3

(א) Найдем комплексное число, которое является корнем уравнения \(z^3=\frac{1}{z^3}\)

Комплексное число \(z=a+i\ b\) можно изобразить на комплексной плоскости Гаусса. \(a,b\) — координаты точки. (рис. 1)

Комплексное число можно представить в тригонометрической форме

\(z=|z|(\cos \phi+i\ \sin \phi )\).

Здесь \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) — модуль комплексного числа, \(\phi\) — аргумент комплексного числа. Аргумент комплексного числа можно можно выразить в градусах или в радианах. Найти его можно, например, так.

\(\phi=arctg {\frac{b}{a}}\), если \(a>0\), ( 1 и 4 координатные четверти, рис. 2 и рис. 3)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\phi=\pi +arctg {\frac{b}{a}}\), если \(a<0, \ b>0\), ( 2 координатная четверть, рис. 4)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\phi=-\pi +arctg {\frac{b}{a}}\), если \(a<0, \ b<0\), ( 3 координатная четверть, рис. 5)

Вернемся к уравнению \(z^3=\frac{1}{z^3}\).

Решим его. Перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю.

\(z^3-\frac{1}{z^3}=0\)

\(\frac{z^6-1}{z^3}=0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Получаем систему:

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {z^6-1=0}\\{z^3\ne 0}\end {matrix}\); \( \Bigg \{ \begin {matrix} {z^6=1}\\{z^3\ne 0}\end {matrix}\); \( \Bigg \{ \begin {matrix} {z=\sqrt[6]{1}}\\{z\ne \sqrt[3]{0}}\end {matrix}\)

Уравнение \(z=\sqrt[n]{w}\) имеет ровно \(n\) корней \(z_0,\ z_1,\ z_2,\ …z_{n-1}\), которые можно найти по формуле:

\(z_k=\sqrt[n]{|w|}(\cos {\frac{\phi +2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac{\phi +2\pi k}{n}})\),

где \(|w|\) — это модуль комплексного числа \(w\), \(\phi \) — его аргумент, а параметр \(k\) принимает значения \(\{0,\ 1,\ …n-1\}\).

Представим число \(w=1\) как комплексное в тригонометрической форме. \(w=1+0\cdot i\)

Здесь \(a=1,\ b=0\). \(|w|=1, \ \phi=0\).

Тогда уравнение \(z=\sqrt[6]{1}\) имеет 6 корней:

\(z_k=\sqrt[6]{|1|}(\cos {\frac{2\pi k}{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi k}{6}})\)

\(z_0=\cos 0+i\ \sin 0=1\)

\(z_1=\cos {\frac{2\pi }{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi }{6}}=cos {\frac{\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

\(z_2=\cos {\frac{2\pi \cdot 2}{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi \cdot 2}{6}}=\cos {\frac{2\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{2\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

\(z_3=\cos {\frac{2\pi \cdot 3}{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi \cdot 3}{6}}=\cos {\pi}+i\ \sin {\pi}=-1\)

\(z_4=\cos {\frac{2\pi \cdot 4}{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi \cdot 4}{6}}=\cos {\frac{4\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{4\pi }{3}}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

\(z_5=\cos {\frac{2\pi \cdot 5}{6}}+i\ \sin {\frac{2\pi \cdot 5}{6}}=\cos {\frac{5\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{5\pi }{3}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Заметим, что ни одно из значение \(z_k\) не равно нулю, поэтому второе условие системы выполняется.

По условию, заданное решение уравнения должно быть представлено точкой, расположенной в четвертом квадранте плоскости Гаусса, то есть \(a>0, \ b<0\). Этому условию удовлетворяет только \(z_5=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\).

Ответ: \(z_0=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

(ב) Дан параметр \(d>0\). Точка \(A\) представляет в плоскости Гаусса комплексное число \(d\cdot z_0=\frac{d}{2}-\frac{\sqrt{3}d}{2}i\), то есть координаты точки \(A(\frac{d}{2},-\frac{\sqrt{3}d}{2})\)

Точка \(B\) представляет в плоскости Гаусса комплексное число \(d\cdot z_0\cdot i=\frac{d}{2}i-\frac{\sqrt{3}d}{2}i\cdot i=\frac{\sqrt{3}d}{2}+\frac{d}{2}i\), то есть координаты точки \(B(\frac{\sqrt{3}d}{2},\frac{d}{2})\)

Точка \(C\) представляет в плоскости Гаусса комплексное число \(d\cdot (z_0)^4\).

Чтобы возвести комплексное число, записанное в тригонометрической форме в степень \(n\in N \), используют формулу Муавра: если \(z=|z|(\cos \phi+i\ \sin \phi)\), то

\(z^n=|z|^n(\cos (n\cdot \phi)+i\ \sin (n\cdot \phi))\).

Возведем число \(z_0=1 \cdot (\cos {\frac{5\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{5 \pi }{3}}) \) в четвертую степень. Получим

\(z_0^4=1^4\cdot (\cos (4\cdot{\frac{5\pi }{3}})+i\ \sin (4\cdot{\frac{5\pi }{3}}))=\cos {\frac{20\pi }{3}}+i\ \sin {\frac{20\pi }{3}}=\cos (6\pi+\frac{2\pi }{3})+i\ \sin (6\pi+\frac{2\pi }{3})\)

\(= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \)

Отсюда координаты точки \(C(-\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}d}{2} i )\)

Точки \(A(\frac{d}{2},\frac{\sqrt{3}d}{2})\), \(B(\frac{\sqrt{3}d}{2},\frac{d}{2})\) и \(C(-\frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}d}{2} i )\) лежат на окружности радиуса \(d\), так как модули соответствующих комплексных чисел равны \(d\).

Известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(5d+6\). Найдем величину \(d\).

\(OA=OB=OC=d\).

Докажем, что треугольники \(AOB\) и \(COB\) — прямоугольные.

Для этого докажем, что \(\overrightarrow{ OA}\perp \overrightarrow{ OB}\), \(\overrightarrow{ OC}\perp \overrightarrow{ OB}\). Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

\(\overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ OB}=\frac{d}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}d}{2}+(- \frac{\sqrt{3}d}{2})\cdot \frac{d}{2}=0\)

\(\overrightarrow{ OС}\cdot \overrightarrow{ OB}=(-\frac{d}{2})\cdot \frac{\sqrt{3}d}{2}+\frac{\sqrt{3}d}{2})\cdot \frac{d}{2}=0\)

Следовательно, треугольники \(AOB\) и \(COB\) — прямоугольные.

Заметим, что можно было найти аргументы в тригонометрической записи комплексных чисел, соответствующим точкам \(A, \ B,\ C\) и доказать, что треугольники \(AOB\) и \(COB\) прямоугольные, используя углы.

Итак, получили, что площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей двух равных прямоугольных треугольников \(COB\) и \(AOB\).

\(S_\Delta {COB}=S_\Delta {AOB}=\frac{d\cdot d}{2}\)

\(S_\Delta {ABC}=2\cdot \frac{d\cdot d}{2}=d^2=5d+6\)

Решим уравнение: \(d^2-5d-6=0\). \(d_1=6, \ d_2=-1\). По условию \(d>0\).

Ответ: 6

(ג) \(w= ((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2})(1+i)\). Найдем \(|w|\) и аргумент \(w\).

Преобразуем выражение \(((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2})(1+i)\)

\(z_0=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\) (из п. (א))

\(z_0^2=(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2=\frac{1}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i+(\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2=\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

\(\frac{1}{z_0^2}=\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=-\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\)

\(=-\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}=\)

\(=-\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Замечание: \(z_0^2\) и \(\frac{1}{z_0^2}\) можно было найти, используя тригонометрическую форму комплексного числа \(z_0\).

\(z_0^2-\frac{1}{z_0^2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i +\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=-\sqrt{3}i\)

\(w=(-\sqrt{3}i)(1+i)=-\sqrt{3}i+\sqrt{3}=\sqrt{3} -i\sqrt{3} \)

\(a=\sqrt{3}>0,\ b=-\sqrt{3}<0\), следовательно, точка расположена в 4 квадранте.

\(|w|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}\)

\(arg (w)=arctg\frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=arctg(-1)\)

Аргумент мы можем записать в любом виде, например, \(\alpha=-45^{\circ}\) или \(\alpha=315^{\circ}\) или \(\alpha=-\frac{\pi}{4}\) или \(\alpha=\frac{7\pi}{4}\)

Ответ: \(|w|=\sqrt{6}\), \(\alpha=315^{\circ}\)

(ד) Дано, что \(w^n\) — чисто мнимое число, расположенное за пределами окружности, описывающей треугольник \(ABC\). Нужно найти минимальное натуральное число \(n\).

Запишем число \(w= \sqrt{3} -i\sqrt{3} \) в тригономерической форме. Учитывая п. (ג) получим:

\(w=\sqrt{6}(\cos(315^{\circ}) +i\sin (315^{\circ}) \)

По формуле Муавра: \(w^n=\sqrt{6}^n(\cos(315^{\circ}\cdot n) +i\sin (315^{\circ}\cdot n) \)

\(w^n\) — чисто мнимое число, следовательно, \(\cos(315^{\circ}\cdot n)=0\). Это значит, что \(315^{\circ}\cdot n\) должно быть кратно \(90^{\circ}\). Кроме того, это число расположено за пределами окружности, радиус которой равен 6 (\(d=6 \) из п. (ב). Значит, \(|w^n|>6\)

Найдем наименьшее натуральное решение неравенства \(\sqrt{6}^n>6\): \(n=3\). Для того, чтобы проверить чему равен косинус при различных значениях \(n\ge 3\), нам удобнее взять аргумент равным \(-\frac{\pi}{4}\):

\(n=3: \ \cos (-\frac{\pi}{4}\cdot 3)=-\frac {\sqrt{2}}{2}\ne 0\)

\(n=4: \ \cos (-\frac{\pi}{4}\cdot 4)=-1\ne 0\)

\(n=5: \ \cos (-\frac{\pi}{4}\cdot 5)=-\frac {\sqrt{2}}{2}\ne 0\)

\(n=6: \ \cos (-\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\cos (-\frac{3\pi}{2})=0\)

Ответ: 6