БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 4
(א) Так как у нас не даны длины отрезков, докажем подобие треугольников \(ACE\) и \(BCD\) по двум углам. Найдем две пары равных углов. Во-первых, треугольники \(ACE\) и \(BCD\) имеют общий угол \(C\). Найдем вторую пару равных углов.
Пусть \(\measuredangle E=\alpha\). Четырехугольник \(ADBE\) вписан в правую окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180^{\circ}\). Отсюда \(\measuredangle ADB=180^{\circ}-\alpha\). Углы \(ADB\) и \(CDB\) — смежные, следовательно, их сумма равна \(180^{\circ}\). Отсюда \(\measuredangle CDB=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha\)
Получили, что \(\measuredangle CDB=\measuredangle E=\alpha\). Следовательно, \(\Delta ACE \sim \Delta BCD\) по двум углам.
Что и требовалось доказать.
(ב) Докажем, что \(\Delta BFE \cong \Delta BCD\), если \(DC=FE\).
У нас есть пара равных сторон и пара равных углов. Докажем, что \(\measuredangle С =\measuredangle BFE\).
Пусть \(\measuredangle C=\beta\), тогда \(\measuredangle AFB=180^{\circ}-\beta\), так как четырехугольник \(AFBC\) вписан в левую окружность. Отсюда \(\measuredangle BFE=\beta\).
Итак: \(\measuredangle CDB=\measuredangle E\), \(DC=FE\), \(\measuredangle С =\measuredangle BFE\). Следовательно, \(\Delta BFE \cong \Delta BCD\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.
(ג) (1) Докажем, что \(AC\cdot BE=AE\cdot BC\)
Запишем равенство произведений в виде равенства отношений по свойству пропорции: \(\frac{AC}{ВС}= \frac{AE}{BE}\). Докажем это равенство.
В п. (א) мы доказали, что \(\Delta ACE \sim \Delta BCD\). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны. Сходственные стороны — это стороны, которые лежат против равных углов. Тогда \(\frac{AC}{ВС}= \frac{AE}{BD}\). Но так как \(\Delta BFE \cong \Delta BCD\) (из п. (ב)), \(BD=BE\), следовательно, \(\frac{AC}{ВС}= \frac{AE}{BE}\). Отсюда \(AC\cdot BE=AE\cdot BC\). Что и требовалось доказать.
(ג) (2) Докажем, что \(AB\) — биссектриса угла \(CAE\).
В п. (ב) доказали, что \(\Delta BFE \cong \Delta BCD\). В конгруэнтных (равных) треугольниках стороны, лежащие против равных углов, равны. Отсюда \(BC=BF\). Но \(BC\) и \(BF\) — это равные хорды левой окружности. Острые вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны. Угол \(CAB\) опирается на дугу \(BC\), угол \(BAE\) опирается на дугу \(BF\), следовательно, \(\measuredangle CAB=\measuredangle BAE\) и \(AB\) — биссектриса угла \(CAE\). Что и требовалось доказать.
(ד) Докажем, что \(\measuredangle DEC=\measuredangle FCE\)
В п. (ג) (2) доказали, что \(\measuredangle CAB=\measuredangle BAE\)
\(\measuredangle DEC=\measuredangle BAE\), так как это острые углы, которые опираются на хорду \(BD\) правой окружности.
\(\measuredangle FCE=\measuredangle CAB\), так как это острые углы, которые опираются на хорду \(BF\) левой окружности.
Отсюда \(\measuredangle DEC=\measuredangle FCE\)
Что и требовалось доказать.
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
\(\\\)
