БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 1א

(א)(1)

Обозначим \(A(n) \) последовательность \(n\)-й член которой равен \((3n-2)\cdot (5n-3)\), сумма \(n\) членов этой последовательности равна \(S_n=1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)=n(5n^2-2n-1)\) (*)

Выражение \(7\cdot 12 +10\cdot 17+…+58\cdot 97\) можно рассматривать как сумму части членов последовательности \(A(n)\):

Выражение \(7\cdot 12\) — это третий член последовательности \(A(n)\): \(3\cdot 3-2=7,\ 5\cdot 3-3=12\)

Выражение \(10\cdot 17\) — это четвертый член последовательности \(A(n)\): \(3\cdot 4-2=10,\ 5\cdot 4-3=17\).

Найдем, является ли выражение \(58\cdot 97\) членом этой последовательности, и если да, какой его номер. Для этого решим систему:

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {3n-2=58}\\{5n-3=97}\end {matrix}\)

\(n=20\) является решением первого уравнения и удовлетворяет второму.

Тогда, используя формулу (*), получим:

\(7\cdot 12 +10\cdot 17+…+58\cdot 97=S_{20}-(1\cdot 2+4\cdot 7)=20(5\cdot 20^2-2\cdot 20-1)-30=39\ 150\)

Ответ: \(39\ 150\)

(2) Заметим, что сумма \(1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)+(3n+1)(5n+2)\) отличается от суммы \(S_n=1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)=n(5n^2-2n-1)\) наличием слагаемого \((3n+1)(5n+2)=(3(n+1)-2)(5(n+1)-3)\)

Так как равенство \(S_n=1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)=n(5n^2-2n-1)\) выполняется для любого натурального \(n\), оно будет выполняться и для \(n+1\):

\(S_{n+1}=1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)+(3(n+1)-2)(5(n+1)-3)=\)

\(=1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)+(3n+1)(5n+2)=\)

\(=(n+1)(5(n+1)^2-2(n+1)-1)\)

\((n+1)(5(n+1)^2-2(n+1)-1)=(n+1)(5(n^2+2n+1)-2n-2-1)=\)

\(=(n+1)(5n^2+8n+2)\)

По условию \(1\cdot 2+4\cdot 7+7\cdot 12+…+(3n-2)\cdot (5n-3)+(3n+1)(5n+2)=\)

\(=(n+1)(5n^2+8n+C)\)

Тогда \((n+1)(5n^2+8n+C)=(n+1)(5n^2+8n+2)\). Отсюда \(C=2\)

Ответ: \(C=2\)