Багрут (5). Лето 2023, вариант 35571, задание 1ג

(1) Вспомним: если функция строго возрастает (убывает) на некотором промежутке и имеет производную во всех внутренних точках промежутка, то во всех внутренних точка промежутка производная положительна (отрицательна). И наоборот, если производная функции положительна (отрицательна) во всех внутренних точках промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Вторая производная функции — это производная от первой производной: \( f ^{\prime \prime }(x)=(f'(x))’ \).

Предположим, что на графике I изображена функция \(f(x) \). Мы видим, что функция возрастает на всей области определения, следовательно, ее производная на всей области определения (за исключением, возможно, крайних точек) положительна. В этом случае ни график II, ни график III не могут быть графиками ее производной, так как на этих графиках есть промежутки, на которых изображенная функция принимает отрицательные значения.

Предположим, что на графике II изображена функция \(f(x) \). Мы видим, что при \(0 \le x \le 2 \) функция \(f(x) \) убывает, а при \(2 \le x \le 3 \) функция \(f(x) \) возрастает. Следовательно, при \(0 < x < 2 \) производная этой функции отрицательна, а при \(2<x<3 \) производная положительна. (Заметим, что на концах промежутка производная может быть равна нулю). Этим условиям удовлетворяет функция, изображенная на графике III — мы видим, что на этом графике функция отрицательна при \(0 < x < 2 \) и положительная при \(2<x<3 \). Следовательно, график III может быть графиком функции \(f'(x) \).

Проверим, будет ли в этом случае график I графиком функции \( f ^{\prime \prime }(x) \). Мы видим по графику III, что функция \(f'(x) \) убывает на промежутке \(0 \le x \le 0.8 \) и возрастает на промежутке \(0.8 \le x \le 3 \), следовательно, на промежутке \(0 \le x \le 0.8 \) производная функции \(f'(x) \), то есть функция \( f ^{\prime \prime }(x) \) должна быть отрицательна, а на промежутке \(0.8 \le x \le 3 \) производная функции \(f'(x) \), то есть функция \( f ^{\prime \prime }(x) \) должна быть положительна. Этим условиям удовлетворяет как раз функция, изображенная на графике I. Таким образом, получаем:

(2) Найдем уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в точке перегиба. В точке перегиба вторая производная меняет знак. На графике \( f ^{\prime \prime }(x) \) (график I) это точка с координатами \( (0.8,0) \). Обозначим ее буквой \(A \). На графике \(f(x) \) (график II) соответствующую точку обозначим буквой \( B(0.8,-2) \), и на графике \(f'(x) \) (график III) соответствующую точку обозначим буквой \( C(0,8, -6) \)

Уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) имеет вид \(y=mx+p \), где значение \(m \) (\(m \) — угловой коэффициент касательной) равно производной функции в точке касания. Из графика III мы видим, что значение производной в точке касания равно \(-6 \) — координата \(y\) точки \( C\). Такам образом, уравнение касательной имеет вид \(y=-6x+p \). Найдем значения \(p \). Касательная проходит через точку \( B(0.8,-2) \). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной: \(-2=-6\cdot 0.8+p \). Отсюда \(p=2,8 \). Таким образом уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в точке перегиба имеет вид \(y=-6x+2.8 \)

Ответ: \(y=-6x+2.8 \)

(3) Найдем значение интеграла \( \int \limits _0^{0.8}f ^{\prime \prime }(x)\, dx \). Первообразной функции \(f ^{\prime \prime }(x)\) является функция \(f ^{\prime }(x)\). Тогда по формуле Ньютона Лейбница ( \( \int \limits _a^b f (x)\, dx =F(b)-F(a)\), где \(F (x)\) — первообразная функции \(f (x)\)), получим \( \int \limits _0^{0.8}f ^{\prime \prime }(x)\, dx =f'(0,8)-f'(0)\). Согласно графику III, \(f'(0,8)=-6 \)- точка \(C \), \(f'(0)=0 \) — точка на графике с координатами \( (0,0) \).

Отсюда \( \int \limits _0^{0.8}f ^{\prime \prime }(x)\, dx =f'(0,8)-f'(0)=-6-0=-6\).

Ответ: -6.