БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 1ד

(1) Нарисуем эскиз графика функции\( \frac {1}{f(x)} \), опираясь на график функции \(f(x) \)

Заметим, что функция \(f(x) \) — четная, следовательно функция \( \frac {1}{f(x)} \) также четная, и график этой функции симметричен относительно оси \(OY \).

Если при \(x\rightarrow \infty \) функция \(f(x) \rightarrow k\), причем \(f(x) > k\), то функция \(\frac {1}{f(x)} \rightarrow \frac {1}{k} \), причем \( \frac {1}{f(x)} < \frac {1}{k} \). По условию \(k>1\), следовательно, \(\frac{1} {k}<1\).

То есть на бесконечности получаем такую картинку: красная пунктирная линия — это горизонтальная асимптота графика функции \( \frac {1}{f(x)} \), уравнение которой \( y= \frac {1}{k} \). Фрагменты красной кривой — эскиз графика функции \( \frac {1}{f(x)} \) на бесконечности.

Далее: при \( x \rightarrow 1 \) справа, функция \( {f(x)} \rightarrow \infty \), тогда при \(x \rightarrow 1 \) справа функция \(\frac{1}{f(x)} \rightarrow 0\) «сверху».

При \( x \rightarrow 1 \) слева, функция \( {f(x)} \rightarrow -\infty \), тогда при \(x \rightarrow 1 \) справа функция \(\frac{1}{f(x)} \rightarrow 0\) «снизу».

При \(x=0\) \(f(0)=-a,\ a>0\), тогда \(\frac{1}{f(0)}=-\frac{1}{a},\ a>0\)

С учетом четности функции \( \frac {1}{f(x)} \) получаем эскиз графика:

Так как \(k>1\) прямая \(y=k\) расположена выше прямой \(y=\frac{1}{k}\). Графики функций \(f(x) \) и \( \frac {1}{f(x)} \) имеют две точки пересечения при таком расположении графиков:

Это возможно при условии \(-a>-\frac{1}{a}\)

Решим это неравенство:

\(a<\frac{1}{a}\)

\(a-\frac{1}{a}<0\)

\(\frac{a^2-1}{a}<0\)

\(\frac{(a-1)(a+1)}{a}<0\)

Учитывая, что \(a>0\), получаем, что \(0<a<1\)

Ответ: \(0<a<1\)

(2) Из полученного в п.(1) расположения графиков функций \(f(x) \) и \( \frac {1}{f(x)} \) получаем, что расстояние между горизонтальными асимптотами равно \(k-\frac{1}{k}\). Найдем, при каком значении \(k\) оно равно \(1.5\)

Решим уравнение: \( k-\frac{1}{k}=1.5\)

Перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю. Получим уравнение:

\(\frac{k^2-1.5k-1}{k}=0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Приравняем к нулю числитель и найдем корни квадратного уравнения: \(k^2-1.5k-1=0\).

Получим \(k_1=2, \ k_2=-0,5\). Учитывая, что \(k>1\), получим ответ \(k=2\).

Ответ: \(k=2\)