БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 2

(א) \(n\)- член бесконечное геометрической прогрессии А имеет вид \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

Общий член последовательности В по условию имеет вид

\(b_n=a_n\cdot q^{n-1}\)

Тогда \(b_n=a_n\cdot q^{n-1}=a_1\cdot q^{n-1}\cdot q^{n-1}=a_1\cdot (q ^2)^{n-1}\)

Чтобы доказать, что последовательность В также является геометрической прогрессией, нужно доказать, что отношение последующего члена последовательности к предыдущему равно одному и тому же числу для любого натурального \(n\ge 2\).

\(\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{a_1\cdot (q ^2)^{n-1}}{a_1\cdot (q ^2)^{n-2}}=q ^2\)

Мы получили, что отношение последующего члена последовательности В к предыдущему равно \(q^2\), следовательно, последовательность В является геометрической прогрессией.

Заметим, что знаменатель последовательности В равен \(q^2\).

(ב) (1) Геометрическая прогрессия является сходящейся, если модуль знаменателя прогрессии меньше 1. То есть \(|q|<1\).

Если прогрессия А не сходящаяся, то \(|q|>1\), следовательно, \(|q|^2>1\), следовательно, прогрессия В также не сходящаяся.

(2) Прогрессия является убывающей, если каждый последующий член прогрессии меньше предыдущего для любого натурального \(n\ge 2\).

Если прогрессия А убывающая, то \(a_n-a_{n-1}<0\). Кроме того, в убывающей геометрической прогрессии \(q>0\), так как если \(q<0\), знаки членов прогрессии будут чередоваться, и она точно не будет убывающей.

\(a_n-a_{n-1}=a_1\cdot q^{n-1}-a_1\cdot q^{n-2}=a_1\cdot q^{n-2}(q-1)<0\)

В этом произведении множитель \(q^{n-2}>0\), так как \(q>0\).

Тогда произведение \(a_1\cdot (q-1)<0\). Произведение двух множителей меньше нуля, если множители имеют разные знаки. То есть если выполняется одной из двух условий:

1. \(a_1>0\) И \(0<q<1\)
2. \(a_1<0\) И \(q>1\)

Во втором случае прогрессия А не будет сходящейся.

Ответ: нет, не обязательно.

(ג) Запишем, чему равны суммы всех членов сходящихся геометрических прогрессий А и В:

\(S_A=\frac{a_1}{q-1},\ S_B=\frac{a_1}{q^2-1}\)

По условию \(\frac{S_B}{S_A}=\frac{3}{5}\)

\(\frac{S_B}{S_A}=\frac{\frac{a_1}{q^2-1}}{\frac{a_1}{q-1}}=\frac{3}{5}\)

\( \frac{q-1}{q^2-1}=\frac{3}{5}\)

\( \frac{q-1}{(q-1)(q+1)}=\frac{3}{5}\)

\( \frac{1}{q+1}=\frac{3}{5}\)

По свойству пропорции получим: \(3q+3=5\), отсюда \(q=\frac{2}{3}\).

Ответ: \(q=\frac{2}{3}\)

(ד) Учитывая, что \(q=\frac{2}{3}\), преобразуем сумму

\(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\frac{b_3}{a_3}+…+\frac{b_n}{a_n}=\frac{2059}{729}\)

\(\frac{b_n}{a_n}=\frac{a_1\cdot (q ^2)^{n-1}}{a_1\cdot q ^{n-1}}=q ^{n-1}=(\frac{2}{3})^{n-1}\)

Тогда наша сумма примет вид:

\(1+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2+……(\frac{2}{3})^{n-1}=\frac{2059}{729}\)

Перед нами сумма \(n\) членов геометрической прогрессии, у которой первый член \(c_1=1\), знаменатель \(q=\frac{2}{3}\).

Сумму \(n\) членов геометрической прогрессии находим по формуле:

\(S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}\)

В нашем случае: \(S_n=\frac{1\cdot( (\frac{2}{3})^n-1)}{\frac{2}{3}-1}=\frac{2059}{729}\)

\((\frac{2}{3})^n-1=(-\frac{1}{3})\cdot \frac{2059}{729}\)

\((\frac{2}{3})^n=1-\frac{2059}{729\cdot 3}=\frac{2187-2059}{2187}=\frac{128}{2187}=\frac{2^7}{3^7}\)

Отсюда \(n=7\)

Ответ: \(n=7\)