БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 1ד

(1) Используя формулу Ньютона — Лейбница запишем:

\(g(t)=\int _{-2}^t f(x) dx=F(t)-F(-2)\)

Здесь \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\), а это значит, что \(F'(x)=f(x)\). Отсюда

\(g'(t)=F'(t)-F'(-2)=f(t)\)

По графику функции \(f(x)\) мы видим, что \(f(x)<0\) на промежутке \(-2<x<0\), следовательно, \(g'(x)<0\) на промежутке \(-2<x<0\). Если производная дифференцируемой на промежутке \(a<x<b\) функции отрицательна на этом промежутке, то функция убывает на этом промежутке. Следовательно, функция \(g(t)\) убывает на промежутке \(-2<t<0\).

Ответ: \(-2<t<0\)

(2) Так как функция \(f(x)\) — нечетная, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. \(f(-x)=-f(x)\). На промежутке \(-2<t<0\) функция \(F(t)\) убывает, а на промежутке \(0<t<2\) она симметричным образом возрастает, так как значения производной функции \(F(t)\) равны по модулю и противоположны по знаку. То есть функция \(F(t)\) — четная, и ее график симметричен относительно оси Y. Отсюда получаем, что \(F(t)\) принимает наибольшее значение на промежутке \(-2<t<2\) в точках \(t=-2\) и \(t=2\). Это значит, что значение функции \(F(t)\) в точках \(t=-2\) и \(t=2\) больше, чем во всех остальных точках промежутка \(-2<t<2\). Следовательно, \(g(t)=F(t)-F(-2)<0\) для любого \(-2<t<2\). Таким образом, в области \(-2<t<2\) нет точек, в которых \(g(t)>0\).

Ответ: таких точек нет.

(3) Точки перегиба функции — это такие точки в которых вторая производная функции равна нулю и меняет знак. Вторая производная — это производная от первой производной. Перед нами график производной функции \(g(t)=F(t)-F(-2)\): \(g'(t)=F'(t)-F'(-2)=f(t)\). Тогда \({g’}'(t)=f'(t)\). Значит, по графику функции \(f(x)\) нам надо найти ее точки экстремума — это точки, в которых \(f'(t)\) равна нулю и меняет знак. Таких точек 2: точка минимума на промежутке \(-2<t<0\) и точка максимума на промежутке \(0<t<2\).

Ответ: 2 точки.