БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 2

(א) Вспомним: говорят, что геометрическая прогрессия является сходящейся, если \( \left| {q}\right|<1 \). То есть модуль каждого последующего члена сходящейся последовательности меньше модуля предыдущего.

Из двух положительных чисел больше то, у которого больше модуль. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.

Обозначим \( n\)-й член новой геометрической прогрессии \( d_n\), по условию \( d_n=\frac{a_n}{b_n}\). Так как \( d_n\) — геометрическая прогрессия, ее знаменатель равен отношению любого члена последовательности, начиная со второго, к предыдущему. В частности, знаменатель новой прогрессии \( q_D=\frac{d_2}{d_1}\).

\( d_1=\frac{a_1}{b_1}\), \( d_2=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_1 \cdot q_A}{b_1 \cdot q_B}\)

\(q_D=\frac{d_2}{d_1}=\frac{\frac{a_1 \cdot q_A}{b_1 \cdot q_B}}{\frac{a_1}{b_1}}=\frac{q_A}{q_B}\)

Ответ: \( q_D=\frac{q_A}{q_B}\)

(ב) (1) По условию прогрессия А сходящаяся, не возрастающая и не убывающая. Так как прогрессия А сходящаяся, \( \left| {q_A} \right|<1 \). Предположим, знаменатель прогрессии \( q_A >0\). Тогда, если \( a_1 >0 \) и \( 0<q_A <1 \), то прогрессия будет убывающей. Если \( a_1 <0 \) и \( 0<q_A <1 \), то прогрессия будет возрастающей. В любом случае она будет монотонной. Но это противоречит условию, что прогрессия А не возрастающая и не убывающая. Следовательно, \( q_A <0 \)

По условию прогрессия В возрастающая. Докажем, что \( q_B >0 \). Предположим, что \( q_B <0 \), тогда знак каждого члена последовательности, начиная со второго, будет противоположным знаку предыдущего члена. В этом случае прогрессия не будет монотонной. Следовательно, \( q_B >0 \).

Тогда \( q_D=\frac{q_B}{q_A}<0\)
Ответ: утверждение (1) не является верным.

(2) Про прогрессию В известно, что она возрастает и является сходящейся. Прогрессия может быть монотонной , только если все члены прогрессии имеют одинаковый знак. Прогрессия В возрастает, если \( b_1 >0 \) и \( q_B >1 \), в этом случает все члены последовательности положительны, но прогрессия не является сходящейся, или если \( b_1 <0 \) и \( 0<q_B <1 \), в этом случае все члены последовательности отрицательны и прогрессия является сходящейся. Нас устраивает второй случай, следовательно, все члены последовательности В отрицательны.

Ответ: утверждение (2) является верным.

(ג) По условию числа \( c_1, \ c_2, \ c_3\) являются членами арифметической прогрессии. Пусть \(m\) — разность этой прогрессии. Тогда \(c_2=c_1+m, \ c_3=c_1+2m\).

По условию \(c_2=-с_1\), то есть \(c_1+m=-с_1\)

Так же по условию \(\frac{c_1 \cdot c_2}{c_3}=-\frac{1}{45}\), то есть \(\frac{c_1 \cdot (c_1+m)}{c_1+2m}=-\frac{1}{45}\).

Запишем эти два уравнения в систему и решим ее.

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {c_1+m=-с_1}\\{\frac{c_1 \cdot (c_1+m)}{c_1+2m}=-\frac{1}{45}}\end {matrix}\)

В первом уравнении выразим \(m\) через \(c_1\) и подставим во второе уравнение.

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {m=-2с_1}\\{\frac{c_1 \cdot (c_1-2с_1)}{c_1+2(-2с_1)}=-\frac{1}{45}}\end {matrix}\)

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {m=-2с_1}\\{\frac{-{с_1}^2}{-3с_1}=-\frac{1}{45}}\end {matrix}\)

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {m=-2с_1}\\{\frac{c_1}{3}=-\frac{1}{45}}\end {matrix}\)

\( \Bigg \{ \begin {matrix} {m=-2с_1}\\{c_1=-\frac{1}{15}}\end {matrix}\)

Ответ: \(c_1=-\frac{1}{15}\)

(ד) По условию знаменатель прогрессии А равен \(c_1\), то есть \(q_A=-\frac{1}{15}\).

Кроме того, по условию задачи выполняется равенство:

\( \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+…=\frac{a_1+a_2+a_3+…}{b_1+b_2+b_3+…}\)

Преобразуем левую часть равенства.

\( \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+…= \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_1\cdot {q_A}}{b_1\cdot {q_B}}+\frac{a_1\cdot {q_A}^2}{b_1 \cdot {q_B}^2}+…= \frac{a_1}{b_1}(1+\frac{q_A}{q_B}+(\frac{q_A}{q_B})^2+…)\) (1)

Из пункта (א) мы знаем, что \(\frac{q_A}{q_B}\) — знаменатель сходящейся геометрической прогрессии, значит, \( \left| {\frac{q_A}{q_B}} \right|<1 \). Следовательно, выражение в скобках представляет собой сумму сходящейся геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен \(\frac{q_A}{q_B}\).

Сумму сходящейся геометрической прогрессии, первый член которой равен \( b_1 \), а знаменатель равен \(q\) мы находим по формуле:

\(S=\frac{b_1}{1-q}\)

Таким образом, в левой части равенства (1) получаем:

\(\frac{a_1}{b_1}\cdot \frac{1}{1-\frac{q_A}{q_B}}=\frac{a_1}{b_1}\cdot \frac{1}{\frac{q_B-q_A}{q_B}}=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac {q_B}{q_B-q_A}\)

Преобразуем правую часть равенства:

\( \frac{a_1+a_2+a_3+…}{b_1+b_2+b_3+…}=\frac{a_1+a_1\cdot q_A+a_1\cdot {q_A}^2+…}{b_1+b_1\cdot q_B+b_1\cdot {q_B}^2+…}=\)

\(=\frac{a_1}{b_1}\cdot (\frac{1+q_A+{q_A}^2+…}{1+q_B+{q_B}^2+…})\)

В числителе дроби в скобках мы имеем сходящуюся геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, а знаменатель равен \(q_A\). Тогда \(1+q_A+{q_A}^2+…=\frac{1}{1-q_A}\).

Аналогично в знаменателе дроби в скобках получим \(1+q_B+{q_B}^2+…=\frac{1}{1-q_B}\)

Тогда в правой части равенства (1) получим:

\(=\frac{a_1}{b_1}\cdot (\frac{1+q_A+{q_A}^2+…}{1+q_B+{q_B}^2+…})=\frac{a_1}{b_1}\cdot \frac{\frac{1}{1-q_A}}{\frac{1}{1-q_B}}=\)

\(=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{1-q_B}{1-q_A}\)

Теперь приравняет преобразованные левую и правую части равенства (1). Получим:

\(\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac {q_B}{q_B-q_A}=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{1-q_B}{1-q_A}\)

Разделим обе части на дробь \(\frac{a_1}{b_1}\) и подставим вместо \(q_A\) его значение, найденное в пункте (ג). (\(q_A=-\frac{1}{15})\) Получим:

\(\frac {q_B}{q_B-(-\frac{1}{15}))}=\frac{1-q_B}{1-(-\frac{1}{15}))}\)

\(\frac {q_B}{q_B+\frac{1}{15}}=\frac{1-q_B}{1+\frac{1}{15}}\)

Отсюда: \(q_B\cdot (1+\frac{1}{15})=(1-q_B)(q_B+\frac{1}{15})\)

Умножим обе части уравнение на 15:

\(q_B\cdot 16=(1-q_B)(15q_B+1)\)

Раскроем скобки, перенесем все влево и получим квадратное уравнение:

\(15q_B^2+2q_B-1=0\)

Корни уравнения \(q_B=\frac{1}{5},\ q_B=-\frac{1}{3}\).

В пункте (ב) мы доказали, что \( q_B >0 \), следовательно

Ответ: \(q_B=\frac{1}{5}\)