Багрут (5). Лето 2023, вариант 35571, задание 1א
решение
(1) По условию \( T_k=(2k-3) \cdot 2^{k+1} \) выполняется для любого натурального значения \( k \). Перед нами уравнение \( k \)-го члена последовательности. Уравнение \( k \)-го члена последовательности выражает зависимость значения члена последовательности \( (T_k) \) от его номера \( (k) \). Номер члена последовательности мы можем обозначить любой буквой, важно, чтобы это была одна и та же буква (или выражение) в левой и правой части уравнения. Для натурального \( n=k+1 \) , будет верно \( T_n=(2n-3) \cdot 2^{n+1} \). Заменим в последнем равенстве \( n \) на \( k+1 \), получим \( T_{k+1}=(2(k+1)-3) \cdot 2^{k+1+1}= (2k-1) \cdot 2^{k+2} \)
Что и требовалось доказать
(2) Чтобы доказать, что утверждение «для любого натурального значения \( n \) выполняется \( T_n=(2n-3) \cdot 2^{n+1} \)» не верно, достаточно привести пример такого значения \( n\), при котором это утверждение не выполняется. Возьмем \( n=1 \). По определению \( T_n \) (из условия (א)) , \( T_1=a_1 \cdot b_1=(2 \cdot 1-1) \cdot 2^1=2 \). Но если мы возьмем последовательность \( T_n=(2n-3) \cdot 2^{n+1} \) и подставим \( n=1\), то получим \( T_1=(2 \cdot 1-3) \cdot 2^{1+1}=-4 \). Получили противоречие, следовательно, это утверждение не верно.