Багрут (5). Лето 2023, вариант 35571, задание 1ב

(1) Обозначим буквой \( K \) точку пересечения диагоналей параллелограмма \( ABHG \).

По свойству диагоналей параллелограмма точка пересечения делит диагонали пополам, следовательно точка \( K \) — середина отрезка \( AH \). По условию \( EF \) — средняя линия трапеции \( ABCD \), следовательно, точка \( E \) — середина отрезка \( AD \). То есть \( DK \) и \( HE \) — медианы треугольника \( ADH \). Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении \( 2:1 \), считая от вершины. Точка \( G \) — точка пересечения медиан \( DK \) и \( HE \), отсюда \( GH: EG=2:1 \). Получаем \( GH=2EG \). Что и требовалось доказать.

(2)

Продолжим прямую \( AG \) до пересечения с отрезком \( DH \) в точке \( M \). Так как отрезок \( AM \) проходит через точку \( G \), точку пересечения медиан треугольника \( ADH \), отрезок \( AM \) является медианой треугольника \( ADH \), следовательно, отрезок \( AM \) делит отрезок \( DH \) пополам. Что и требовалось доказать.