БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 3

Нарисуем таблицу, иллюстрирующую условие задачи.

\(a\) — число студентов первого курса, которые поддерживают предложение.

\(c\) — число студентов первого курса, которые не поддерживают предложение.

\( b\) — число студентов первого курса, которые не поддерживают предложение.

\( d\) — число студентов второго курса, которые не поддерживают предложение.

Уточняем таблицу:

По условию «80% участников, которые поддержали предложение были студентами первого курса».

Всего поддерживают предложение \(a+b\) участников опроса, из них \( a\) участников с первого курса.

Получаем равенство: \( а=0,8( a+b)\). Отсюда \( 0,2a=0,8 b\), или \( a=4b\)

Уточним таблицу:

Далее: «число студентов 1 курса, поддержавших предложение равно числу студентов 2 курса, выступивших против предложения». То есть \(d=4b\).

Уточним таблицу:

(א) Случайным образом выбрали одного студента из числа студентов 2 курса. (Число студентов второго курса равно \(b+4b=5b\)). Какова вероятность того, что он выступает против предложения? (Из числа студентов второго курса \(4b\) не поддерживают предложение.)

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов. В нашем случае нужно найти отношение числа студентов второго курса, которые не поддерживают предложение к числу всех студентов второго курса.

Получаем: \(\frac{4b}{5b}=0,8\)

Ответ: 0,8

(ב) Найдем вероятность того, что случайно выбранный студент поддерживает предложение. Эта вероятность равна отношению числа студентов, поддерживающих предложение к числу всех студентов.

\(p=\frac{4b+b}{4b+b+4b+c}=\frac{5b}{9b+c}\).

Найдем \(c\).

По условию вероятность того, что студент, случайно выбранный из числа студентов 1 курса, поддерживает предложение (обозначим эту вероятность \(p_1\) ) на \(\frac{13}{35}\) больше вероятности того, что случайно выбранный из числа студентов 2 курса, поддерживает предложение (обозначим эту вероятность \(p_2\) ). То есть \(p_1=p_2+\frac{13}{35}\)

Вероятность \(p_1\) равна отношению числа студентов 1 курса, которые поддерживает предложение к числу всех студентов 1 курса. \(p_1=\frac{4b}{4b+c}\)

Вероятность \(p_2\) равна отношению числа студентов 2 курса, которые поддерживает предложение к числу всех студентов 2 курса. \(p_2=\frac{b}{4b+b}=\frac{1}{5}\)

Получаем уравнение:

\(\frac{4b}{4b+c}=\frac{1}{5}+\frac{13}{35}\)

\(\frac{4b}{4b+c}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}\)

\(4b\cdot 7=(4b+c)\cdot 4\)

\(28b=16b+4c\)

\(c=3b\)

Уточним таблицу:

Тогда \(p=\frac{5b}{9b+c}=\frac{5b}{9b+3b}=\frac{5}{12}\).

Ответ: \(\frac{5}{12}\)

(ג) В этом пункте нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный участник ИЛИ студент 1 курса (обозначим это событие А), или поддерживает предложение (обозначим это событие В). То есть нам нужно найти вероятность объединения событий А и В.

Вероятность объединения событий А и В находится по формуле:

\(p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\)

Здесь \(p(A\cap B)\) — вероятность пересечения событий А и В, то есть вероятность того, что случайно выбранный ученик — студент первого курса И поддерживает предложение. Эта вероятность равна отношению числа студентов первого курса, поддерживающих предложение к числу всех студентов.

\(p(A)=\frac{7b}{12b}\)

\(p(B)=\frac{5b}{12b}\)

\(p(A\cap B)=\frac{4b}{12b}=\frac{1}{3}\)

\(p(A\cup B)=\frac{7b}{12b}+\frac{5b}{12b}-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}=\frac{3}{4}\)

Ответ: \(\frac{3}{4}\)

(ד) Сформулируем условие задания так: найти вероятность того, что из 5 выбранных студентов второго курса по меньшей мере двое из них поддерживают предложение, а по меньше мере двое из не поддерживают предложение.

Возможны две ситуации: двое из пяти студентов 2 курса поддерживают предложение И трое не поддерживают (событие С) , ИЛИ наоборот: двое из пяти студентов 2 курса не поддерживают предложение И трое поддерживают (событие D). Это взаимоисключающие события, поэтому вероятность объединения этих событий равна сумме вероятностей.

\(P(C\cup D)=P(C)+P(D)\)

Вероятность того, что студент второго курса поддерживает предложение равна \(\frac{1}{5}\).

Вероятность того, что студент второго курса НЕ поддерживает предложение равна \(\frac{4}{5}\) (см. таблицу).

Число способов выбрать из пяти учеников двоих равно числу способов выбрать из пяти учеников троих и равно числу сочетаний из 5 по 2:

\(C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot (3)!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{2!\cdot (3)!}=10\)

Пусть первые два из 5 студентов второго курса поддерживают предложение, а остальные трое не поддерживают. Тогда вероятность этого события равна \( (\frac{1}{5})^2\cdot (\frac{4}{5})^3\). Но этих двоих студентов мы можем выбрать \(C_5^2= 10\) способами. Тогда вероятность того, что произвольные два студента второго курса поддерживают предложение, а остальные трое не поддерживают равна \(P(C)=10\cdot (\frac{1}{5})^2\cdot (\frac{4}{5})^3\)

Аналогично, вероятность того, что произвольные три студента второго курса поддерживают предложение, а остальные трое не поддерживают равна \(P(D)=10\cdot (\frac{1}{5})^3\cdot (\frac{4}{5})^2\).

Тогда \(P(C\cup D)=P(C)+P(D)=10\cdot (\frac{1}{5})^2\cdot (\frac{4}{5})^3+10\cdot (\frac{1}{5})^2\cdot (\frac{4}{5})^3=\)

\(=10\cdot (\frac{1}{5})^2\cdot (\frac{4}{5})^2 (\frac{1}{5}+\frac{4}{5})=\)

\(=10\cdot\frac{16}{625}=0,256\)

Ответ: 0,256