БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 4
Отметим на чертеже равные угла. Воспользуемся теоремами:
- Вписанные углы, которые опираются на равные дуги или на одну и ту же дугу, равны.
- Угол между хордой и касательной, проведенной через конец хорды, равен острому вписанному углу, который опирается на эту хорду.
Равные углы отметим одинаковым цветом:
- \(\measuredangle CAE=\measuredangle EAB \) (т. к \(\smile BE=\smile EC\) по условию.
- \(\measuredangle CAE=\measuredangle CBE \) (т. к опираются на одну дугу \(\smile EC\)
- \(\measuredangle BCE=\measuredangle BAE \)(т. к опираются на одну дугу \(\smile BE\)
- \(\measuredangle AEB=\measuredangle ACB \) (т. к опираются на одну дугу \(\smile AB\)
- \(\measuredangle BEG=\measuredangle BCE \) ( по теореме об угле между хордой и касательной)
- \(\measuredangle CAE=\measuredangle GAE =\measuredangle CBE=\measuredangle BEG\) (из утв 1, 2, 3, 5)
(א) Рассмотрим треугольники \(ACE\) и \(AEG\).
\(\measuredangle AEG=\measuredangle AEB+\measuredangle BEG=\measuredangle ACB+\measuredangle BCE=\)
\(=\measuredangle ACE \) (из утв. 4. и 5. )
\(\measuredangle GAE=\measuredangle EAC\) (из утв 1.)
Следовательно, \(\Delta ACE \sim \Delta AEG\) по двум углам.
Что и требовалось доказать.
(ב) Найдем длину \(AC\). Запишем отношение сходственных сторон в подобных треугольниках \(ACE\) и \(AEG\). (Сходственные стороны лежат против равных углов)
\(\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AG}\), Отсюда \(AE^2=AC\cdot AG\), \(AC=\frac{AE^2}{AG}\)
По условию \(AG=6,\ AE=3\sqrt{6}\)
Получим:
\(AC=\frac{(3\sqrt{6})^2}{6}=9\)
Ответ: АС=9
(ג) Докажем, что (BC\| GE\)
\(\measuredangle CBE=\measuredangle BEG \) — из п.6. Это накрест лежащие углы по отношению к секущей \(BE\). Следовательно, \(BC\| GE\). Утверждение доказано.
(ד) Рассмотрим треугольники \(ABF\) и \(BFE\). Эти треугольники имеют общую высоту BH, следовательно отношение площадей этих треугольников равно отношению оснований. \({AF}\) и \({FE}\).
\(\frac{S_{ABF}}{S_{BFE}}=2\) — по условию, следовательно, \(\frac{AF}{FE}=2\)
\(BC\| GE\) из (ג), следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках (параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки)
\(\frac{AB}{BG}=\frac{AF}{FE}=2 \)
Но \(AB+BG=AG=6,\ AB=2BG\), следовательно, \(AB=4,\ BG=2\)
Ответ: \(AB=4\)
(ה) Найдем соотношение между площадями треугольников \(ABF\) и \(AFC\).
Треугольники \(AFC\) и \(ABF\) имеют общую высоту, выходящую из вершины \(A\), следовательно, отношение площадей этих треугольников равно отношение оснований \(FC\) и \(BF\).
\(\frac{AF}{FE}=\frac{2}{1}\) ( из (ג)), следовательно, \(AF=2FE\), \(AE=AF+FE=3\sqrt{6}\), отсюда \(AF=2\sqrt{6}, \ FE=\sqrt{6}\) (2)
По тереме об отрезках пересекающихся хорд \(AF\cdot FE=BF\cdot FC\) (3)
Найдем длину отрезка \(BF\). Так как \(BC\| GE\) из (ג), \(\Delta AGE \sim \Delta ABF\) по двум углам. \(\frac{GE}{BF}=\frac{AG}{AB}=\frac{3}{2}\). (4)
Найдем длину отрезка \(GE\). \(GE\) — касательная, \(AG\) — секущая. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть \(GE^2=AG\cdot BG\), \(GE^2=6\cdot 2=12\), \(GE=2\sqrt{3}\), Тогда \(BF=\frac{2}{3}GE=\frac{4\sqrt{3}}{3}\). (из (4))
Подставим в формулу (3) найденные длины отрезков, получим:
\(2\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot FC\). Отсюда \(FC=\frac{9}{\sqrt{3}}\)
Тогда \(\frac{S_{ABF}}{S_{AFC}}=\frac{BF}{FC}=\)
\(=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{9}{\sqrt{3}}}=\frac{4}{9}\)
Ответ: \(\frac{4}{9}\)