БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 5
Вспомним: дельтоид — это четырехугольник, у которого две пары равных смежных сторон.
1. Диагонали дельтоида перпендикулярны.
2. Главная диагональ дельтоида является биссектрисой углов.
3. Точка пересечения диагоналей делит вторую диагональ пополам.
4. Главная диагональ дельтоида является его осью симметрии.
(א) (1) По условию задачи дельтоид вписан в окружность, следовательно, из соображений симметрии, центр описанной окружности лежит в середине главной диагонали. Тогда угол дельтоида, который опирается на главную диагональ равен \(90^{\circ}\), как вписанный угол, опирающийся на диаметр. \(\angle ABC=90^{\circ}\)
По условию \( \measuredangle CAB=\alpha \). Тогда \( \measuredangle ACB =90^{\circ}-\alpha \), так как сумма острых углов прямоугольного треугольника \(ABC\) равна \(\ 180^{\circ}\)
Центр окружности, вписанной в треугольник лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. То есть \(AO\) и \(CO\) — биссектрисы треугольника \(ABC\).
Отсюда \( \measuredangle CAO=\frac{\alpha}{2}\), \(\measuredangle OCA=\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\), \(\measuredangle AOC =180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=135^{\circ}\).
(א) (2) Выразим длину отрезка \(AO\). Для этого рассмотрим треугольник \(AOC\). В нем нам известна сторона \(AC=2R\) и три угла. В этом случае, чтобы найти любую другую сторону треугольника, мы воспользуемся теоремой синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
\(\frac{AC}{\sin (\measuredangle AOC)}=\frac{AO}{\sin (\measuredangle OCA)}\)
Подставим найденные значения значения углов:
\(\frac{2R}{\sin (135^{\circ})}=\frac{AO}{\sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}\)
\(AO=\frac{2R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=2\sqrt{2}R\cdot \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})\) (3)
Ответ: \(AO=2\sqrt{2}R\cdot \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})\)
(ב) Найдем величину угла \(\alpha\) при условии, что \(AO=R\sqrt{2}\). Подставим значение \(AO=R\sqrt{2}\) в равенство (3)
\(R\sqrt{2}=2\sqrt{2}R\cdot \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})\)
Разделим обе части равенства на \(R\sqrt{2}\). Получим:
\(2 \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=1\)
\(\sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}\)
\(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=30^{\circ}\)
\(\frac{\alpha}{2}=15^{\circ}\), \(\alpha=30^{\circ}\).
Ответ: \(\alpha=30^{\circ}\).
(ג) Найдем \(R\) при условии, что площадь дельтоида равна \(25\sqrt{3}\).
Так как диагонали дельтоида перпендикулярны, его площадь равна половине произведения диагоналей.
Из прямоугольного треугольника \(ABC\) найдем \(AB\):
\(AB=AC\cdot \cos (\measuredangle CAB)=2R\cos 30^{\circ}=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\)
\(=R\sqrt{3}\)
Из прямоугольного треугольника \(ABK\) найдем \(BK\):
\(BK=AB\cdot \sin (\measuredangle KAB)=R\sqrt{3} \cdot \sin 30^{\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(DB=2BK=R\sqrt{3}\)
\(S=\frac{AC\cdot DB}{2}=\frac{2R\cdot R\sqrt{3}}{2}=\frac{2R^2\sqrt{3}}{2}=R^2\sqrt{3}\)
\(R^2\sqrt{3}=25\sqrt{3}\). Отсюда \(R=5\)
Ответ: \(R=5\)
Заметим, что в треугольнике \(ABD\) \(AD=AB\), \(\measuredangle DAC=\measuredangle DAC=30^{\circ}\). То есть \(\measuredangle DAB=60^{\circ}\), следовательно треугольник \(ABD\) — равносторонний и \(DB=AB=R\sqrt{3}\).
(ד) Найдем длину отрезка \(O_1O\). Рассмотрим треугольник \(AO_1O\).
\(AO_1=R=5\),
\( \measuredangle O_1AO=\frac{\alpha}{2}=15^{\circ}\),
\(AO=2\sqrt{2}R\cdot \sin (45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\) [из (א) (2)]
\(=2\sqrt{2}\cdot 5 \cdot \sin (45^{\circ}-15^{\circ})=5\sqrt{2}\).
Воспользуемся теоремой косинусов:
\(O_1O^2=AO_1^2+AO^2-2\cdot AO_1\cdot AO \cdot \cos (\measuredangle O_1AO)\)
\(O_1O^2=5^2+(5\sqrt{2})^2-2\cdot 5\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos (15^{\circ})=\)
\(=75-5\sqrt{2}\cos \frac{\pi}{12}\approx 4.29\)
\(O_1O=\sqrt {4,29}\approx 2.07\)
Ответ: 2.07
