БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 6
(א) Для функции \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}\) определенной при \(x\ne 0\), \(a\) — параметр, \(a>0\)
(1) Найдем уравнения асимптот, перпендикулярных осям координат (если таковые существуют).
Асимптоты, перпендикулярные осям координат — это горизонтальные и вертикальнные асимптоты.
Вертикальная асимптота имеет вид \(x=x_0\). Если уравнение функции представляет собой дробь , то значения \(x_0\) — те значения \(x\), при котором знаменатель дроби равен нулю. В случае данной функции \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}\) знаменатель равен нулю при \(x=0\), следовательно, уравнение вертикальной асимптоты \(x=0\).
Горизонтальная асимптота имеет вид \(y=y_0\), где \(y_0\) — значение, к которому стремится \(y=f(x)\) если \(x\) стремится к бесконечности. Горизонтальная асимптота существует, если в числителе дроби стоят многочлены одинаковой степени. Так как степень числителя функции \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}\) равна 2, а степень знаменателя равна 1, то есть степень числителя больше степени знаменателя, поэтому данная функция не имеет горизонтальной асимптоты.
Ответ: вертикальная асимптота \(x=0\), горизонтальной асимптоты нет.
(2) Докажем, что функция \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}\) — нечетная.
Функция является нечетной, если для любого значения \(x\) из области определения функции выполняется равенство:
\(f(-x)=-f(x)\).
Проверим: \(f(-x)=\frac{2a-(-x)^2}{-x}=\frac{2a-x^2}{-x}=-\frac{2a-x^2}{x}=- f(x)\)
Это равенство верно для любого \(x\ne 0\), следовательно данная функция — нечетная.
(3) Найдем точки пересечения графика функции \(y=\frac{2a-x^2}{x}\) с осями координат.
Сначала найдем точки пересечения с осью \(X\). Все точки, лежащие на оси \(X\) имеют ординату, равную 0. \((y=0)\). Подставим \(y=0\) в уравнение функции:
\(0=\frac{2a-x^2}{x}\). Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
\(2a-x^2=0\)
\(x^2=2a\), \(x=\sqrt{2a}\) или \(x=-\sqrt{2a}\)
Таким образом, координаты точек пересечения графика функции с осью \(X\): \((-\sqrt{2a},0)\) и \((\sqrt{2a},0)\)
Найдем точки пересечения с осью \(Y\). Все точки, лежащие на оси \(Y\) имеют абсциссу, равную 0. \((x=0)\). Но точка \(x=0\) не входит в область определения функции, следовательно, график функции \(y=\frac{2a-x^2}{x}\) не имеет точек пересечения с осью \(Y\).
Ответ: точки пересечения с осью \(X\): \((-\sqrt{2a},0)\) и \((\sqrt{2a},0)\)
Точек пересечения с осью \(Y\) нет.
(4) Найдем промежутки возрастания и убывания функции. Это можно сделать двумя способами.
1 способ. В уравнении функции \(y=\frac{2a-x^2}{x}\) разделим почленно числитель на знаменатель. Получим: \(y=\frac{2a}{x}+\frac{-x^2}{x}=\frac{2a}{x}-x\)
Мы можем рассматривать исходную функцию \(\frac{2a-x^2}{x}\) как сумму двух функций: \( \frac{2a}{x}\) и \(-x\). Так как по условию \(a>0\), график функции \(\frac{2a}{x}\) — гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях, следовательно функция \(\frac{2a}{x}\) убывает на всей области определения.
График функции \(-x\) — прямая, которая является биссектрисой 2 и 4 координатных углов, то есть функция \(-x\) также убывает. Сумма двух убывающих функций — функция убывающая. Следовательно, функция \(\frac{2a-x^2}{x}\) убывает при \(x<0\) и \(x>0\).
2 способ. Найдем производную функции \(\frac{2a-x^2}{x}\).
Производная дроби находится по такой формуле:
\((\frac{U}{V})’=\frac{U’V-V’U}{V^2}\)
Воспользуемся это формулой:
\((\frac{2a-x^2}{x})’=\frac{(2a-x^2)’\cdot x-x’\cdot (2a-x^2)}{x^2}=\frac{-2x^2-2a+x^2}{x^2}=\frac{-2a-x^2}{x^2}\)
Числитель дроби меньше нуля, так как \(-x^2\le 0, \ -2a<0\), знаменатель дроби больше нуля, следовательно, \((\frac{2a-x^2}{x})'<0\) и функция убывает на все области определения, то есть при при \(x<0\) и \(x>0\).
Ответ: область убывания функции \(x<0\) и \(x>0\), области возрастания нет.
(5) Найдем область вогнутости вверх и область вогнутости вниз функции \(\frac{2a-x^2}{x}\).
Функция вогнута вниз (\(\bigcap\)) в тех точках, в которых вторая производная функции меньше нуля, и функция вогнута вверх (\(\bigcup\)) в тех точках, в которых вторая производная функции больше нуля.
Найдем вторую производную функции \(\frac{2a-x^2}{x}\). Для этого нужно взять производную от первой производной: \((\frac{-2a-x^2}{x^2})’\)
\((\frac{-2a-x^2}{x^2})’=\frac{(-2a-x^2)’\cdot x^2-(x^2)’\cdot (-2a-x^2)}{x^4}=\frac{4ax}{x^4}\).
\(4ax>0\) при \(x>0\), \(4ax<0\) при \(x<0\), \(x^4>0\) (\(x\ne 0\), \(a>0\)). Следовательно, вторая производная больше нуля при \(x>0\) и меньше нуля при \(x<0\).
Получаем, что функция \(\frac{2a-x^2}{x}\) вогнута вниз при \(x<0\) и вогнута вверх при \(x>0\).
Ответ: функция \(\frac{2a-x^2}{x}\) вогнута вниз при \(x<0\) и вогнута вверх при \(x>0\).
(ב) С учетом п. (א) начертим график функции \(\frac{2a-x^2}{x}\). Так как функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Можем построить график для \(x>0\), а затем отобразить его симметрично относительно точки (0,0).
Функция \(\frac{2a-x^2}{x}\) на промежутке \(x>0\) меняет знак в точке \(x=\sqrt{2a}\). При \(x>\sqrt{2a}\) \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}<0\). Следовательно, при \(0<x<\sqrt{2a}\) функция \(f(x)=\frac{2a-x^2}{x}>0\). Кроме того, функция вогнута вверх при \(x>0\).
На рис. 1 изображена часть графика функции \(\frac{2a-x^2}{x}\) на промежутке \(x>0\)
Теперь отображаем эту часть графика симметрично относительно начала координат. Получаем график функции \(y=f(x)\). График функции \(y=f(x)\) изображен на рис.2
(ג) Начертим график функции \(g(x)=|f(x)|-b\), где \(b>0\). То есть график функции \(g(x)= |\frac{2a-x^2}{x}|-b\)
Чтобы из графика функции \(y=f(x)\) получить график функции \(y=|f(x)|\), нужно ту часть графика функции \(y=f(x)\), которая расположена ниже оси \(X\) отобразить симметрично относительно это оси.
Чтобы из графика функции \(y=f(x)\) получить график функции \(y=f(x)-b, \ b>0\), нужно график функции \(y=f(x)\) сдвинуть на \( b\) единиц вниз параллельно оси \( Y\).
График функции \(g(x)=|f(x)|-b\) изображен на рис. 4
(ד) Найдем значения \(a\) и \(b\) функции \(g(x)\), если одной из точек экстремума является точка (2, -3). График функции \(g(x)=|f(x)|-b\) изображен на рис.4
Функция имеет две точки минимума. Их координаты \((-\sqrt{2a},-b)\), \((\sqrt{2a},-b)\).
Так как абсцисса точки (2, -3) больше нуля, получаем:
\(\sqrt{2a}=2\), \(a=2\)
\(-b=-3\), \(b=3\)
Ответ: \(a=2\), \(b=3\).
(ה) Для функции \(s(x)=\int_{1}^{x} g(t)dt\), определенной в области \(x>1\) найдем тип экстремума.
Запишем формулу Ньютона -Лейбница для этой функции:
\(s(x)=\int_{1}^{x} g(t)dt=F(x)-F(1)\), (1)
где \(F(x)\) — одна из первообразных функции \(g(x)\), а это значит, что \(F'(x)=g(x)\)
В точке минимума производная функции 1) равна 0, 2) меняет знак с «-» на «+».
В точке максимума производная функции 1) равна 0, 2) меняет знак с «+» на «-«.
То есть для того, чтобы определить тип экстремума функции \(s(x)\) нужно: 1) найти ее производную, 2) приравнять производную к 0, 3) определить знаки производной в области \(x>1\).
Из формулы (1) получим \(s'(x)=(F(x)-F(1))’=F'(x)=g(x)\)
С учетом п. (ד) (\(a=2\), \(b=3\)), \(g(x)=|\frac{4-x^2}{x}|-3\)
Найдем значения \(x>1\), в которых функция \(g(x)\) меняет знак. Приравняем \(g(x)\) к нулю.
\(|\frac{4-x^2}{x}|-3=0\);
\(|\frac{4-x^2}{x}|=3\), отсюда
\(\frac{4-x^2}{x}=3\) или \(\frac{4-x^2}{x}=-3\)
\(\frac{4-x^2}{x}=3\), \(\frac{4-x^2-3x}{x}=0\), \(\frac{x^2+3x-4}{x}=0\)
Корни числителя: \(x=1, \ x=4\). Корень знаменателя \(x=0\). Промежутку \(x>1\) принадлежит только точка \(x=4\)
\(\frac{4-x^2}{x}=-3\), \(\frac{4-x^2+3x}{x}=0\), \(\frac{x^2-3x-4}{x}=0\)
Корни числителя: \(x=1, \ x=4\). Корень знаменателя \(x=0\). Промежутку \(x>1\) принадлежит только точка \(x=4\)
Корни числителя: \(x=-1, \ x=4\). Корень знаменателя \(x=0\). Промежутку \(x>1\) принадлежит только точка \(x=4\)
Проверим знаки функции \(g(x)=|\frac{4-x^2}{x}|-3\) справа и слева от точки \(x=4\):
\(x=3\): \(g(3)=|\frac{4-3^2}{3}|-3=\frac{5}{3}-3<0\)
\(x=5\): \(g(5)=|\frac{4-5^2}{3}|-3=\frac{21}{3}-3>0\)
Следовательно, при переходе через точку \(x=4\) производная функции \(s(x)=\int_{1}^{x} g(t)dt\) меняет знак с «-» на «+», следовательно, \(x=4\) — точка минимума.
Ответ: точка минимума.