БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 7
(א) (1) График функции производной \(f'(x)\) изображен на рис.1. На промежутке \(x<0\) производная функции \(f(x)\) положительна, следовательно функция \(f(x)\) возрастает при \(x<0\).
На промежутке \(0<x<a\) производная функции \(f(x)\) отрицательна, следовательно функция \(f(x)\) убывает при \(0<x< a\).
Ответ: функция \(f(x)\) возрастает при \(x<0\) и убывает при \(0<x< a\)
(2) В точке перегиба вторая производная функции \(f(x)\), то есть первая производная функции \(f'(x)\), равна нулю и меняет знак. Мы видим на графике функции производной \(f'(x)\) изображенном на рис.1, что на промежутке \(0<x< a\) функция производной \(f'(x)\) имеет одну точку максимума, то есть в этой точке вторая производная \({{f}’}'(x)\) равна нулю и меняет знак с плюса на минус. Следовательно, это точка перегиба функции \(f(x)\). Причем слева от этой точка функция \(f(x)\) выпукла вверх \((\cup)\), а справа от этой точки выпукла вниз \((\cap)\).
Ответ: 1 точка перегиба.
(ב) Итак: функция \(f(x)\) определена на промежутках \(x<0\), \(0<x\le a\),
- имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\),
- имеет вертикальную асимптоту \(x=0\),
- возрастает на промежутке \(x<0\),
- убывает на промежутке \(0<x<a\),
- имеет точку перегиба на промежутке \(0<x<a\), причем слева от этой точка функция \(f(x)\) вогнута вверх \((\cup)\), а справа от этой точки вогнута вниз \((\cap)\),
- \(f(a)=0\),
- Если функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(x<0\) и имеет вертикальную асимптоту \(x=0\), и горизонтальную \(y=0\), то \(f(x)>0\) на этом промежутке.
- Если функция \(f(x)\) убывает на промежутке \(0<x<a\), имеет вертикальную асимптоту \(x=0\) и \(f(a)=0\), то \(f(x)>0\) на этом промежутке.
Таким образом, график функции \(f(x)\) выглядит примерно как на рис. 2
(ג) Выберем, какое из приведенных ниже выражений соответствует функции \(f(x)\):
\(\frac{\sqrt{x-a}}{x}\) (IV) \(\frac{\sqrt{a-x}}{x}\) (III) \(\frac{\sqrt{x-a}}{x^2}\) (II) \(\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}\) (I)
Выражения (IV) и (II) соответствуют функциям, у которых область определения \(x\ge a\), \(x\ne0\) — это не наш случай.
Выражения (III) и (I) соответствуют функциям, у которых область определения \(x\le a\), \(x\ne0\). Но выражение (III) меняет знак в точке \(x=0\) и отрицательно при \(x<0\), а выражение (I) принимает только неотрицательные значения, так как в числителе дроби квадратный корень, а в знаменателе \(x^2\). Наша функция принимает только неотрицательные значения, следовательно, функции \(f(x)\) соответствует выражение (I).
Ответ: I
(ד) Найдем значение \(a\) в уравнении функции \(\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}\), если угловой коэффициент касательной к графику функции \(y=\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}\), проведенной в точке \(x=-2\) равен \(\frac{7}{16}\).
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\) равен производной функции в точке \(x_0\).
Найдем производную функции \(\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}\):
\((\frac{\sqrt{a-x}}{x^2})’=\frac{(\sqrt{a-x})’\cdot x^2-(x^2)’\cdot \sqrt{a-x} }{(x^2)^2}=\)
\(=\frac{-\frac{1}{2\sqrt{a-x}}\cdot x^2-2x\cdot \sqrt{a-x} }{x^4}=\) (приведем числитель к общему знаменателю)
\(=\frac{-x^2-4x(a-x) }{2 \sqrt{a-x}\cdot x^4}=\frac{3x^2-4ax}{2 \sqrt{a-x}\cdot x^4}=\) (разделим числитель и знаменатель на \(x\))
\(=\frac{3x-4a}{2 \sqrt{a-x}\cdot x^3}\)
Подставим \(x=-2\) и приравняем к \(\frac{7}{16}\):
\(\frac{3\cdot (-2)-4a}{2 \sqrt{a-(-2)}\cdot (-2)^3}=\frac{7}{16}\)
\(\frac{-6-4a}{2 \sqrt{a+2}\cdot (-8)}=\frac{7}{16}\)
\(\frac{3+2a}{ \sqrt{a+2}\cdot (8)}=\frac{7}{16}\)
\(\frac{3+2a}{ \sqrt{a+2}}=\frac{7}{2}\)
\(2(3+2a)=7\sqrt{a+2}\) Возведем обе части уравнение в квадрат и упростим. Получим уравнение:
\(16a^2-a-62=0\), \(D=3969, \ \sqrt{3969}=63\)
\(a_1=2, \ a_2=-\frac{31}{32}\)
Так как по условию \(a>0, \ a=2\)
Ответ: \(a=2\)
(ה) \((f(x))^2=(\frac{\sqrt{a-x}}{x^2})^2=\frac{2-x}{x^4}\)
Функция \(f(x)\) определена при \(x\le 2\), \(x\ne 0\). Следовательно, функция \((f(x))^2\) имеет такую же область определения. Криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции \((f(x))^2\), осью \(X\) и прямой \(x=1\), мы можем получить только на промежутке \(1\le x \le 2\). Найдем ее площадь.
\( S= \int_1^2 \frac{2-x}{x^4}dx=\int_1^2(\frac{2}{x^4}-\frac{1}{x^3})dx= \int_1^2(2x^{-4}-x^{-3})dx =\)
\((\frac{2x^{-3}}{-3}-\frac{x^{-2}}{-2})\bigg |_1^2=(\frac{1}{2x^2}-\frac{2}{3x^3})\bigg |_1^2=\)
\(=(\frac{1}{8}-\frac{2}{24})-(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})=\frac{1}{24}+\frac{1}{6}=\frac{5}{24}\)
Ответ: \(\frac{5}{24}\)