БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35582, ЗАДАНИЕ 1

(1) (א) Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат имеет вид:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) \((a>b\))

В этом уравнении \(a\) — расстояние от начала координат до точки пересечения эллипса с осью \(X\), \(b\)- расстояние от начала координат до точки пересечения эллипса с осью \(Y\) (см. рис. 1)

Дано уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{144-4k^2}=1\), \(0<k<6\)

Отсюда \(a=\sqrt{144}=12\), \(b=\sqrt{144-4k^2}\)

Фокусы эллипса — точки \(F_1\) и \(F_2\). Они характеризуются тем, что сумма расстояний от фокусов эллипса до любой точки, лежащей на эллипсе не зависит от положения точки. То есть сумма расстояний от \(F_1\) и \(F_2\) до точки \(K\) равно сумме расстояний от \(F_1\) и \(F_2\) до точки \(L\).

Пусть \(F_2O=OF_1=m\) (см. рис. 2). \(m\) — это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

\(m\) можно найти по формуле:

\(m=\sqrt{a^2-b^2}\)

\(m=\sqrt{144-(144-4k^2}=2k\)

\(F_2K+F_1K=2m+12-m+12-m=24\) (*)

\( F_2L=LF_1\), так как \(\Delta F_2LO=\Delta F_2LO\) по двум катетам.

Тогда: \( F_2L+LF_1=2\sqrt{m^2+(\sqrt{144-4k^2})^2}=24\).

\( \sqrt{m^2+({144-4k^2})}=12\)

\(m^2+{144-4k^2}=144\), \(m^2=4k^2\), \(m=2k\)

Тогда координаты фокусов эллипса:

\(F_1(2k,0)\), \(F_2(-2k,0)\)

Ответ: \(F_1(2k,0)\), \(F_2(-2k,0)\)

(ב) (1) Возьмем точку \(A\) в первом квадранте. По условию задачи эта точка лежит на параболе, уравнение которой является каноническим, а фокус расположен в точке \(F_1\), так, что \(AF_1=10k\). Выразим через \(k\) уравнение директрисы параболы.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y^2=2px\). Причем фокус параболы имеет координаты \((\frac{p}{2},0)\), уравнение директрисы \(x=-\frac{p}{2}\).

По условию задачи фокус параболы расположен в точке \(F_1\), а значит имеет координаты \(F_1(2k,0)\). Значит, \(\frac{p}{2}=2k\)

Тогда уравнение директрисы \(x=-\frac{p}{2}=-2k\)

Ответ: \(x=-2k\)

(2) Выразим через \(k\) координаты точки \(A\), если \(AF_1=10k\).

Опустим из точки \(A\) перпендикуляр \(AD\) на директрису параболы и перпендикуляр \(AB\) на ось \(X\). Тогда длина отрезка \(AD\) равна расстоянию от точки \(A\) до директрисы.

Точка \(C\) — точка пересечения директрисы с осью \(X\).

Длина отрезка \(AF_1\) равна расстоянию от точки \(A\) до фокуса параболы.

По определению параболы \(AF_1=AD=10k\).

Расстояния от точек \(C\) и \(F_1\) до вершины параболы, которая расположена в начале координат, равны по определению параболы и равны \(2k\). Тогда длина отрезка \(CF_1\) равна \(4k\).

\(AD=BC=10k\), тогда \(F_1B=BC-CF_1=10k-4k=6k\)

Рассмотрим \(\Delta F_1AB\). По теореме Пифагора \(AB=8k\).

Расстояние от точки \(B\) до начала координат равно \(2k+6k=8k\)

Отсюда координаты точки \(A(8k,8k)\)

Ответ: \(A(8k,8k)\)

(ג) Найдем \(k\), если \(AF_1\) — диаметр окружности и прямая, заданная уравнением \(5x+12y=138\) является касательной к этой окружности.

Если \(AF_1\) — диаметр окружности, следовательно, радиус окружности равен половине длины диаметра, а центр окружности лежит в середине отрезка \(AF_1\).

Координаты точки \(F_1(2k,0)\), точки \(A(8k,8k)\), тогда координаты середины отрезка \((\frac{2k+8k}{2}, \frac{0+8k}{2})\), то есть координаты центра окружности \((5k,4k)\)

\(AF_1=2R=10k\), отсюда \(R=5k\)

Уравнение окружности имеет вид \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\), где \((x_0,y_0)\) — координаты центра окружности. Таким образом, уравнение нашей окружности имеет вид:

\((x-5k)^2+(y-4k)^2=25k^2\)

точка \(Q(5k,4k)\) — центр окружности.

Если прямая является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки \(Q(x_0, y_0)\) до прямой \(ax+by+c=0\) находим с помощью этой формулы:

\(\rho=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) (**)

В нашем случае расстояние от точки \(Q(5k,4k)\) до прямой \(5x+12y-138=0\) равно \(5k\). Подставим эти данные в формулу (**):

\(5k=\frac{|5\cdot 5k+12\cdot 4k-138|}{\sqrt{5^2+12^2}}\)

\(5k=\frac{|73k-138|}{13}\)

\(65k=|73k-138|\), отсюда:

\(73k-138=65k\) или \(73k-138=-65k\)

\(8k=138\) или \(138k=138\)

\(k=17.25\) или \(k=1\).

Исходя из ограничений на \(k\) (\(1\le k \le 6\)) (похоже, в условие закралась опечатка), \(k=1\)

Ответ: \(k=1\)

(ד) Сравним периметры треугольников \(F_1AF_2\) и \(F_1DF_2\), где \(D\) — произвольная точка на эллипсе.

\(P_{\Delta F_1DF_2}=F_2D+F_1D+F_2F_1=F_2K+F_1K+F_2F_1\) по определению эллипса.

Из равенства (*) \(F_2K+F_1K=24\), \(F_2F_1=4k=4\), тогда \(P_{\Delta F_1DF_2}=28\)

\(P_{\Delta F_1AF_2}=F_2A+F_1A+F_2F_1\)

\(F_1A=10k=10\), \(F_2A=\sqrt{F_2^2+AB^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}\)

Тогда \(P_{\Delta F_1AF_2}=10+\sqrt{164}+4\)

Так как \(\sqrt{164}<13\), \(P_{\Delta F_1AF_2}=<27\), следовательно, \(P_{\Delta F_1AF_2} <P_{\Delta F_1AF_2}\)

Ответ: \(P_{\Delta F_1AF_2} <P_{\Delta F_1AF_2}\)