БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35582, ЗАДАНИЕ 2
(א) Докажем, что диагональ \(CA’\) перпендикулярна плоскости \(BC’D\).
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
Ребра куба, выходящие из одной вершины перпендикулярны, следовательно, вектора \(\overrightarrow{ AB}\), \(\overrightarrow{ AD}\), \(\overrightarrow{ AA’}\) попарно перпендикулярны. см. рис. 1
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Значит, \(\underline{u} \cdot \underline{v}=\underline{u} \cdot \underline{w}=\underline{v} \cdot \underline{w}=0\)
Кроме того, длины этих векторов равны, следовательно, \( \underline{u}^2=\underline{v}^2=\underline{w}^2\)
Чтобы доказать, что диагональ \(CA’\) перпендикулярна плоскости \(BC’D\), докажем, что вектор \(\overrightarrow{ CA’ }\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{ C’D }\) и \(\overrightarrow{ C’B }\). Выразим вектора \(\overrightarrow{ CA’ }\) ,\(\overrightarrow{ C’D }\) и \(\overrightarrow{ C’B }\) через вектора \(\underline{u},\ \underline{v},\ \underline{w}\).
\(\overrightarrow{ CA’ }=\overrightarrow{ AA’ }-\overrightarrow{ AC}=\underline{w}-(\underline{v}+\underline{u})=\underline{w}-\underline{v}-\underline{u}\)
\(\overrightarrow{ DC }=\overrightarrow{ AB}=\underline{u}\). \(\overrightarrow{ BC }=\overrightarrow{ AD}=\underline{v}\)
Тогда \(\overrightarrow{ C’D } =-\overrightarrow{ DC’ }=-(\underline{u}+\underline{w})\). \(\overrightarrow{ C’B } =-\overrightarrow{ BC’ }=-(\underline{v}+\underline{w})\)
\(\overrightarrow{ CA’ }\cdot \overrightarrow{ C’D }=\)
\(=(\underline{w}-\underline{v}-\underline{u})\cdot (-\underline{u}-\underline{w})=\)
\(=-\underline{u}\cdot \underline{w}+\underline{v}\cdot \underline{u}+(\underline{u})^2-(\underline{w})^2+\underline{v} \cdot \underline{w}+\underline{u}\cdot \underline{w}=\)
\(=0\), так как \(\underline{u}^2=\underline{w}^2\).
Следовательно, вектора \(\overrightarrow{ CA’ }\) и \( \overrightarrow{ C’D }\) перпендикулярны, и отсюда перпендикулярны прямые \(CA’ \) и \(C’D \).
Аналогично доказывается перпендикулярность прямых \(CA’ \) и \(C’B \).
Следовательно, диагональ \(CA’\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(CA’ \) и \(C’D \), и, следовательно, она перпендикулярна плоскости \(BC’D\).
(ב) (1) Точка \(E\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC’D\). Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть точка \(O \) — середина отрезка \(BD\), тогда \(C’O\) — медиана треугольника \(BC’D\), и \(C’E=\frac{2}{3}C’O\). Отсюда:
\(\overrightarrow{C’E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C’O}\)
Выразим вектор \(\overrightarrow{C’E}\) через вектора \(\underline{u},\ \underline{v},\ \underline{w}\).
\(\overrightarrow{C’O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C’D}+\overrightarrow{C’B})=\frac{1}{2}(-\underline{u}-\underline{w}-\underline{v}-\underline{w})=\frac{1}{2}(-\underline{u}-\underline{v}-2\underline{w})\)
\(\overrightarrow{C’E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C’O}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(-\underline{u}-\underline{v}-2\underline{w})= \frac{1}{3}(-\underline{u}-\underline{v}-2\underline{w})\)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CC’}+\overrightarrow{C’E}=\underline{w}+\frac{1}{3}(-\underline{u}-\underline{v}-2\underline{w})=\frac{-\underline{u}-\underline{v}+\underline{w}}{3}\)
Ответ: \(-\frac{-\underline{u}-\underline{v}+\underline{w}}{3}\)
(ב) (2) Точки \(C, \ E,\ A’\) лежат на одной прямой, если вектора \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CA’}\) коллинеарны.
Вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\overrightarrow{a}=k\cdot \overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{CE}=\frac{-\underline{u}-\underline{v}+\underline{w}}{3}\), \(\overrightarrow{ CA’ }=\underline{w}-\underline{v}-\underline{u}\). Отсюда \(\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{ CA’ }\).
Следовательно, вектора \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CA’}\) коллинеарны, и, значит, точки \(C, \ E,\ A’\) лежат на одной прямой
(ג) (1) Найдем координаты точки \(A(4,n,p)\) при условии, что \(D(0,0,0)\), \(C(3,4,0)\).
\(\overrightarrow{DA}\perp \overrightarrow{DC}\), \(|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DC}|\)
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.
\(\overrightarrow{DA}(4,n,p)\), \(\overrightarrow{DC}(3,4,0)\)
\(\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=4\cdot 3+n\cdot 4+p\cdot 0=0\)
\(12+4n=0,\ n=-3\)
\(|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{4^2+n^2+p^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2+p^2}=\sqrt{25+p^2}\)
\(|\overrightarrow{DC}|=\sqrt{3^2+(4)^2+0^2}=\sqrt{25}=5\) (***)
Так как \(|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DC}|\), \(\sqrt{25+p^2}=\sqrt{25}\).
Отсюда \(p=0\).
Тогда координаты точки \(A(4,-3,0)\)
Ответ: \(A(4,-3,0)\)
Точки \(A(4,-3,0)\), \(D(0,0,0)\), \(C(3,4,0)\) лежат в плоскости \(z=0\), \(AB\| DC\), следовательно, прямая \(AB\) также лежит в плоскости \(z=0\). Отсюда четырехугольник \(ABCD\) лежит в плоскости \(z=0\).
(ג) (2) Найдем координаты точки \(C’\) при условии что \(z>0\).
Так как точки \(A(4,-3,0)\), \(D(0,0,0)\), \(C(3,4,0)\) лежат в плоскости \(z=0\) (из (ג) (1)), ребро куба \(СC’\) перпендикулярно плоскости \(z=0\) и, следовательно, первые две координаты точки \(C’\) совпадают с первыми двумя координатами точки \(C’\). То есть точка \(C’\) имеет координаты \((3,4,z)\).
Тогда координаты вектора \(\overrightarrow{CC’}(0,0,z)\).
Длина отрезка \(СC’=5\) (из (***)), так как все ребра куба имеют равные длины.
Отсюда \(z=5\).
Ответ: \(C'(3,4,5)\)
(ד) Плоскость \(BC’D\) пересекает плоскость \(BCC’B’\) по прямой \(l=BC’\). Запишем параметрическое уравнение этой прямой. Прямая проходит через точку \(C'(3,4,5)\), направляющий вектор прямой — вектор \(\overrightarrow{C’B}\)
Найдем координаты точки \(B(x,y,z)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{DC}(3,4,0)\), \(A(4,-3,0)\)
Тогда координаты вектора \(\overrightarrow{AB}(x-4,y-(-3),0)\).
Тогда: \(x-4=3, \ x=7\), \(y-(-3)=4,\ y=1\). Отсюда коордианты точки \(B(7,1,0)\).
Отсюда координаты вектора \(\overrightarrow{C’B}(4, -3, -5)\).
Тогда параметрическое уравнение прямой \(l\) можно записать так:
Ответ: \((3,4,5)+t(4, -3, -5)\)
(ה) Запишем параметрическое уравнение плоскости, которая содержит прямую \(l\) и не пересекает ось \(X\) (то есть плоскость параллельна оси \(X\)), а значит вектору с координатами \((1,0,0)\).
Параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точку \(A(x_0, y_0,z_0)\) параллельно векторам \(\overrightarrow{a}(x_a,y_a,z_a) \) и \(\overrightarrow{b}(x_b,y_b,z_b) \) имеет вид:
\((x_0, y_0,z_0)+m(x_a,y_a,z_a)+(x_b,y_b,z_b)\)
Наша плоскость проходит через точку \(C'(3,4,5)\), параллельна вектору \(\overrightarrow{C’B}(4, -3, -5)\) и вектору с координатами \(1,0,0\), следовательно, ее уравнение может иметь вид:
Ответ: \((3,4,5)+m(4, -3, -5)+n(1,0,0)\)