БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35582, ЗАДАНИЕ 4

(א) (1) Найдем уравнение горизонтальной асимптоты функции \(f(x)=(e^x-1)^n-4\) определенной для любого \(x\), где \(n \in N, \ n\ge 2\).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид \(y=y_0\), где \(y_0\) — значение, к которому стремится функция, если \(x\) стремится к \(\infty\) или к \(-\infty\).

Если \(x \rightarrow\infty\), то \(e^x \rightarrow\infty\), следовательно, \((e^x -1)^n\rightarrow\infty\), следовательно, \((e^x -1)^n-4\rightarrow \infty\). То есть при \(x \rightarrow\infty\) функция \(f(x)=(e^x-1)^n-4\) не имеет горизонтальной асимптоты.

Если \(x \rightarrow-\infty\), то \(e^x \rightarrow 0\), следовательно, \(e^x -1 \rightarrow-1\)

Если \(n\) — четное, то \((e^x -1 )^n\rightarrow1\), следовательно, \(f(x)=(e^x-1)^n-4 \rightarrow-3\)

Если \(n\) — нечетное, то \((e^x -1 )^n\rightarrow-1\), следовательно, \(f(x)=(e^x-1)^n-4 \rightarrow-5\)

Ответ: если \(x \rightarrow-\infty\) и \(n\) — четное, то горизонтальная асимптота \(y=-3\), если \(x \rightarrow-\infty\) и \(n\) — нечетное, то горизонтальная асимптота \(y=-5\).

(2) Найдем координаты точек экстремума.

Найдем производную функции \(f(x)=(e^x-1)^n-4\)

\(f'(x)=((e^x-1)^n-4)’=((e^x-1)^n)’-4’=n(e^x-1)^{n-1}\cdot (e^x)’=n(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x\)

1. Если \(n\) — четное, то выражение \(n-1\) — нечетное, и производная функции \(f'(x)=n(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x\) меняет знак с «-» на «+» в точке \(x=0\). Следовательно, \(x=0\) — точка минимума. \(f(0)=(e^0-1)^n-4=-4\). При \(x<0\) функция убывает, при \(x>0\) функция возрастает.
2. Если \(n\) — нечетное, то выражение \(n-1\) — четное, и производная функции \(f'(x)=n(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x\ge 0 \) при любом значении \(x\). Следовательно, при нечетном \(n\) функция \(f(x)\) не убывает при любом действительном \(x\), и не имеет точек экстремума.

(3) Найдем точку пересечения графика функции \(f(x)=(e^x-1)^n-4\) с осью \(Y\).

\(f(0)=(e^0-1)^n-4=-4\)

Чтобы построить эскиз графика функции \(f(x)=(e^x-1)^n-4\), найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции, то есть производную от первой производной.

\((f'(x))’=(n(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x)’=n((n-1)(e^x-1)^{n-2} \cdot e^x \cdot e^x+(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x)=\)

\(=n(e^x-1)^{n-2}\cdot e^x((n-1) \cdot e^x+e^x-1)=n(e^x-1)^{n-2}\cdot e^x(n \cdot e^x-e^x+e^x-1)=\)

\(=n(e^x-1)^{n-2}\cdot e^x(n \cdot e^x-1)\)

В этом выражении \(n\ge 2,\ e^x>0,\)

Если \(n\) — четное, то \((e^x-1)^{n-2}\ge 0\), выражение \(n \cdot e^x-1\) меняет знак в точке, в которой \(e^x=\frac{1}{n}\), то есть при некотором отрицательном значении \(x=\ln(\frac{1}{n})\). Если \(x<\ln(\frac{1}{n})\), выражение \(n \cdot e^x-1 <0\), следовательно, вторая производная отрицательна и функция вогнута вниз \((\cap)\). Если \(x>\ln(\frac{1}{n})\), выражение \(n \cdot e^x-1 >0\), следовательно, вторая производная положительна и функция вогнута вверх \((\cup)\). \(x=\ln(\frac{1}{n})\) — точка перегиба.

Если \(n\) — нечетное, то выражение \((e^x-1)^{n-2}\) меняет знак при \(x=0\) и, следовательно, вторая производная меняет знак при \(x=0\) и при \(x=\ln(\frac{1}{n})\). Причем при \(x>0\) и при \(x<\ln(\frac{1}{n})\) вторая производная положительна и и график функции вогнут вверх \((\cup)\), при \( x<\ln(\frac{1}{n})<x<0\) вторая производная отрицательна и график функции вогнут вниз \((\cap)\). В этом случае у нас 2 точки перегиба: \(x=0\) и \(x=\ln(\frac{1}{n})\).

Итак.

\(n\) — четное:

1. Уравнение горизонтальной асимптоты \(y=-3\) при \(x \rightarrow-\infty\)
2. \(x=0\) — точка минимума. \(f(0)=(e^0-1)^n-4=-4\). При \(x<0\) функция убывает, при \(x>0\) функция возрастает.
3. Точка пересечения графика функции с осью \(Y\) \((0,-4)\)

\(n\) — нечетное:

1. Уравнение горизонтальной асимптоты \(y=-5\) при \(x \rightarrow-\infty\)
2. Функция возрастает.
3. Точка пересечения графика функции с осью \(Y\) \((0,-4)\)

\(\\\)

(ב) Пусть \(n=2\) и \(f(x)=(e^x-1)^2-4\). \(g(x)=3e^x-7\).

(1) Найдем координаты точек пересечения графиков функций \(f(x)\) и \(g(x)\). Чтобы найти координаты \(x\) точек пересечения графиков функций \(f(x)\) и \(g(x)\), нужно приравнять правые части уравнений функций и решить полученное уравнение:

\((e^x-1)^2-4=3e^x-7\). Введем замену: \(t=e^x,\ t>0\)

Получим уравнение:

\((t-1)^2-4=3t-7\);

\(t^2-2t+1-4=3t-7\);

\(t^2-5t+4=0\).

По теореме Виета: \(t_1=1,\ t_2=4\)

Обратная замена: \(e^x=1, \ x=0\)

\(e^x=1, \ x=\ln4\)

Координаты \y\) точек пересечения: \(x=0, \ g(0)=3e^0-7=-4\)

\(x=\ln 4, \ g(\ln 4)=3e^{\ln 4}-7=3\cdot 4-7=5\)

Ответ: \((0,-4)\); \((\ln 4,5)\)

(2) Фигура, расположенная между графиками функций \(f(x)\) и \(g(x)\) — это фигура, расположенная между точками пересечения этих графиков. Ее площадь находится по формуле:

\(S=|\int_0^{\ln 4}(f(x)-g(x))dx|\)

\(\int_0^{\ln 4}((e^x-1)^2-4-(3e^x-7))dx=\int_0^{\ln 4}((e^{2x}-2e^x+1-4-3e^x+7))dx=\)

\(=\int_0^{\ln 4}(e^{2x}-5e^x+4)dx=\int_0^{\ln 4}(e^{2x}-5e^x)dx+\int_0^{\ln 4}4dx\)

Найдем \(\int_0^{\ln 4}(e^{2x}-5e^x)dx\).

\(\int_0^{\ln 4}(e^{2x}-5e^x)dx=\int_0^{\ln 4}(e^{x}(e^x-5))dx\). Введем замену: \(e^x=u, \ du=e^xdx, e^0=1,\ e^{\ln 4}=4\).

Отсюда \(\int_0^{\ln 4}(e^{x}(e^x-5))dx=\int_1^{4}(u-5)du=(\frac{u^2}{2}-5u )|_1^4=\frac{4^2}{2}-5\cdot 4-(\frac{1^2}{2}-5\cdot 1)=\)

\(=-12+4.5=-7.5\)

Найдем \(\int_0^{\ln 4}4dx\).

\(\int_0^{\ln 4}4dx=4x|_0^{\ln 4}=4\ln4\)

Итак: \(\int_0^{\ln 4}((e^x-1)^2-4-(3e^x-7))dx=-7.5+4\ln 4\approx -1.95\),

\(S=|-1.95|=1.95\)

Ответ: \(\approx 1.95\)

(ג) Рассмотрим функцию \(h(x)=|(e^x-1)^2-4|\)

(1) Найдем число точек экстремума это функции. Сделаем это с помощью графика. Чтобы из графика функции \(y=f(x)\) получить график функции \(y=|f(x)|\), нужно часть графика \(y=f(x)\), расположенную ниже оси \(X\), отобразить симметрично относительно этой оси. Часть графика, расположенную выше оси \(X\), оставляем без изменений.

Таким образом:

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

Получим следующий график:

\(n=2\) — четное:

2 точки экстремума:

\(max(0,4), min\)

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

Найдем координаты точки минимума. Это точка пересечения графика функции \(y=f(x)\) с осью \(X\). Координата \(y\) этой точки равна нулю. Чтобы найти координату \(x\) этой точки, решим уравнение:

\((e^x-1)^2-4=0\).

\((e^x-1)^2=4\),

\(e^x-1=2\) или \(e^x-1=-2\)

\(e^x=3\) или \(e^x=-3\) — нет решений, т.к. \(e^x>0\).

Из первого уравнение получаем \(x=\ln 3\)

Ответ: \(max(0,4), min(\ln 3, 0\)

(2) Прямая \(y=k\) пересекает график функции \(h(x)\) в трех точках, если она лежит желтой области:

При \(k=4\) прямая \(y=4\) проходит через точку максимума и имеет с графиком функции 2 общие точки.

При \(k=3\) прямая \(y=3\) является горизонтальной асимптотой, и график функции \(h(x)\) никогда не достигает этой прямой по определению асимптоты. Следовательно, прямая \(y=3\) имеет с графиком функции 2 общие точки.

Ответ: \(3<k<4\)