БАГРУТ (5). ЗИМА 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 1ג

(1) Найдем уравнения асимптот, перпендикулярных осям координат (если таковые существуют).

Асимптоты, перпендикулярные осям координат — это горизонтальные и вертикальнные асимптоты.

Вертикальная асимптота имеет вид \(x=x_0\). Если уравнение функции представляет собой дробь , то значения \(x_0\) — те значения \(x\), при котором знаменатель дроби равен нулю. В случае данной функции \(f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}\) знаменатель равен нулю при \(x=0\), следовательно, уравнение вертикальной асимптоты \(x=0\).

Горизонтальная асимптота имеет вид \(y=y_0\), где \(y_0\) — значение, к которому стремится \(y=f(x)\) если \(x\) стремится к бесконечности. Горизонтальная асимптота существует, если в числителе дроби стоят многочлены одинаковой степени. Так как степень числителя функции \(f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}\) равна 1, и степень знаменателя равна 1, то есть степень числителя равна степени знаменателя, поэтому данная функция имеет горизонтальные асимптоты.

Найдем их. В уравнении функции вынесем из под корня \(x\).

\(\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^2(4+\frac{1}{x^2})}}{x}=\frac{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x}\)

При \(x\rightarrow-\infty\) \(|x|=-x\), \(f(x)=\frac{(-x)\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x}=-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}\)

Следовательно, при \(x\rightarrow-\infty\) \(\frac{1}{x^2}\rightarrow0\) и \(f(x)=-(\sqrt{4+\frac{1}{x^2}})\rightarrow-2\).

То есть при \(x\rightarrow-\infty\) горизонтальная асимптота \(y=-2\).

При \(x\rightarrow\infty\) \(|x|=x\), \(f(x)=\frac{x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x}=\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}\)

Следовательно, при \(x\rightarrow\infty\) \(\frac{1}{x^2}\rightarrow0\) и \(f(x)=(\sqrt{4+\frac{1}{x^2}})\rightarrow2\).

То есть при \(x\rightarrow-\infty\) горизонтальная асимптота \(y=2\).

Ответ: при \(x\rightarrow-\infty\) горизонтальная асимптота \(y=-2\), при \(x\rightarrow\infty\) горизонтальная асимптота \(y=2\).

(2) Рассмотрим функцию \(g(x)=k\cdot f(x+3)\).

График функции \(g(x)\) получается из графика функции \(f(x)\) с помощью сдвига на 3 единицы влево вдоль оси Х и растяжением в \(k\) раз вдоль оси Y.

Расстояние между асимптотами графика функции \(f(x)\) равно 4.

Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Х на расстояние между асимптотами на влияет.

При растяжении в \(k\) раз вдоль оси Y расстояние между асимптотами становится равным \(4\cdot k\). По условию расстояние между асимптотами графика функции \(g(x)\) равно 10.

\(4\cdot k=10\), \( k=2,5\).

Ответ: \( k=2,5\)