БАГРУТ (5). ЛЕТО 2023, ВАРИАНТ 35571, ЗАДАНИЕ 8
(א) Пусть длина каждой стороны ромба \(ABCD\) равна \(2a\). Так как по условию \(E\) — середина стороны \(BC\), \(EC=a\)
\(\measuredangle ECD=x\).
Площадь треугольника \(ECD\) равна 18.
Нанесем эти данные на чертеж.
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.
Тогда: \(S_{\Delta ECD}=\frac{1}{2}\cdot EC\cdot CD\cdot \sin {\measuredangle ECD}=\frac{a\cdot 2a\cdot \sin x}{2}= a^2\cdot \sin x\)
По условию \(S_{\Delta ECD}=18\)
Получим: \(a^2\cdot \sin x=18\), \(a^2=\frac{18}{\sin x}\), \(a=\sqrt{\frac{18}{\sin x}}\) (1)
\(CD=2a=2\sqrt{\frac{18}{\sin x}}=\sqrt {\frac{72}{\sin x}}\)
Ответ: \(\sqrt{\frac{72}{\sin x}}\)
(ב) Выразим сторону \(DE\) треугольника \(ECD\) с помощью теоремы косинусов.
\(DE^2=EC^2+CD^2-2\cdot EC \cdot CD \cos x \)
\(DE^2=a^2+(2a)^2-2\cdot a \cdot 2a \cos x=5a^2-4a^2 \cos x \)
Подставим найденное значение \(a\) из (1). Значение \(DE\) зависит от \(x\), то есть представляет собой функцию от \(x\):
\(DE^2(x)=5\frac{18}{\sin x}-4\frac{18}{\sin x} \cos x =18(\frac{5}{\sin x}-4ctg x)\)
Рассмотрим функцию \(f(x)=18(\frac{5}{\sin x}-4ctg x)\) и найдем ее наименьшее значение. Для этого сначала найдем производную функции.
\(f'(x)=18(-\frac{5}{(\sin x)^2}\cdot \cos x-4(-\frac{1}{(\sin x)^2})=\)
\(=18(\frac{4}{(\sin x)^2}-\frac{5\cos x}{(\sin x)^2}=18\cdot \frac {4-5\cos x}{(\sin x)^2}\)
Найдем точки экстремума. Приравняем производную к нулю.
\(f'(x)=0\)
\(18\cdot \frac {4-5\cos x}{(\sin x)^2}=0\)
\(4-5\cos x=0\), \(\cos x=\frac{4}{5}\)
Так как \(0<x<180^{\circ}\), \(x=\arccos \frac{4}{5}\).
Осталось выяснить знаки производной. Заметим, что если \(x>\arccos \frac{4}{5}\), то \(\cos x<\frac{4}{5}\), следовательно, значение \(4-5\cos x>0\). Если \(x<\arccos \frac{4}{5}\), то \(\cos x>\frac{4}{5}\), следовательно, значение \(4-5\cos x<0\). Отсюда получаем, что в точке \(x=\arccos \frac{4}{5}\) производная \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс, и это точка минимума функции \(f(x)=18(\frac{5}{\sin x}-4ctg x)\).
\(DC^2(x)=f(x)\) Функция \(x^2\) возрастает при положительном значении \(x\), следовательно, чем меньше значение \(x\), тем меньше значение \(x^2\). То есть точка \(х=\arccos \frac{4}{5}\), которая является точкой минимума функции \(DC^2(x)\), будет точкой минимума функции \(DC(x)\).
\(x_{min}=\arccos \frac{4}{5}\)
Найдем наименьшее значение функции \(DC^2(x)=f(x)\). Она принимает его в точке минимума.
\(f(x_{min})=18(\frac{5}{\sin x_{min}}-4ctg x_{min})\)
Мы знаем, что \(\cos x=\frac{4}{5}\), \(0<x<180^{\circ}\). Так как \(\cos x>0, \sin x>0 \), следовательно, \(ctg x>0\). Найдем \(\sin x \) и \(ctg x\) при условии, что \(\cos x=\frac{4}{5}\). Сделаем это с помощью прямоугольного треугольника. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Пусть прилежащий катет к углу \(x\) равен \(4k\), гипотенуза равна \(5k\), тогда по теореме Пифагора противолежащий катет будет равен \(3k\).
Отсюда \(\sin x=\frac{3}{5} \), \(ctg x=\frac{4}{3} \).
\(f(x_{min})=18(\frac{5}{\frac{3}{5}}-4\cdot \frac{4}{3})=18(\frac{25}{3}-\frac{16}{3})=54\)
\(DC^2=54\), \(DC=\sqrt{54}\)
Ответ: \(DC=\sqrt{54}\)
